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calculate-xsin-2x-x-2-x-1-2-dx-

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Question Number 95692 by mathmax by abdo last updated on 27/May/20
calculate ∫_(−∞) ^∞ ((xsin(2x))/((x^2 +x+1)^2 ))dx
$$\mathrm{calculate}\:\:\int_{−\infty} ^{\infty} \:\:\frac{\mathrm{xsin}\left(\mathrm{2x}\right)}{\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{x}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }\mathrm{dx} \\ $$
Answered by mathmax by abdo last updated on 28/May/20
A =∫_(−∞) ^(+∞) ((xsin(2x))/((x^2 +x+1)^2 ))dx ⇒ A =∫_(−∞) ^(+∞) ((xsin(2x))/(((x+(1/2))^2 +(3/4))^2 )) =_(x+(1/2)=((√3)/2)u) ((16)/9) ∫_(−∞) ^(+∞) (((((√3)/2)u−(1/2))sin(2(((√3)/2)u−(1/2))))/((u^2 +1)^2 ))×((√3)/2)du =((4(√3))/9) ∫_(−∞) ^(+∞) ((((√3)u−1)sin((√3)u−1))/((u^2 +1)^2 ))du =((4(√3))/9) Im(∫_(−∞) ^(+∞) ((((√3)u−1)e^(i((√3)u−1)) )/((u^2 +1)^2 ))du) let ϕ(z) =((((√3)z−1)e^(i((√3)z−1)) )/((z^2 +1)^2 )) poles of ϕ? ϕ(z) =((((√3)z−1)e^(i((√3)z−1)) )/((z−i)^2 (z+i)^2 )) ⇒ ∫_(−∞) ^(+∞) ϕ(z)dz =2iπ Res(ϕ,i) Res(ϕ,i) =lim_(z→i) (1/((2−1)!)){(z−i)^2 ϕ(z)}^((1)) =lim_(z→i) { ((((√3)z−1)e^(i((√3)z−1)) )/((z+i)^2 ))}^((1)) =lim_(z→i) ((((√3)e^(i((√3)z−1)) +i(√3)((√3)z−1)e^(i((√3)z−1)) )(z+i)^2 −2(z+i)((√3)z−1)e^(i((√3)z−1)) )/((z+i)^4 )) =lim_(z→i) (((z+i)((√3)+3iz−i(√3))e^(i((√3)z−1)) −2((√3)z−1)e^(i((√3)z−1)) )/((z+i)^3 )) =(((2i)((√3)−3−i(√3))e^(−(√3)−i) −2((√3)i−1)e^(−(√3)−i) )/((2i)^3 )) =(((2i(√3)−6i+2(√3)−2(√3)i+2)e^(−(√3)−i) )/(−8i)) =(((−6i+2(√3)+2)e^(−(√3)−i) )/(−8i)) =(((3i−(√3)−1)e^(−(√3)−i) )/(4i)) ⇒∫_(−∞) ^(+∞) ϕ(z)dz =2iπ×(((−(√3)−1+3i)e^(−(√3)−i) )/(4i)) =(π/2) e^(−(√3)) {(−(√3)−1+3i)(cos(1)−isin(1)} =(π/2)e^(−(√3)) { (−(√3)−1)cos(1)+3icos(1)−(−(√3)−1)isin(1) +3sin(1)} ⇒ A =(π/2)e^(−(√3)) {3cos(1)+(1+(√3))sin(1)}
$$\mathrm{A}\:=\int_{−\infty} ^{+\infty} \:\frac{\mathrm{xsin}\left(\mathrm{2x}\right)}{\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{x}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }\mathrm{dx}\:\Rightarrow\:\mathrm{A}\:=\int_{−\infty} ^{+\infty} \:\frac{\mathrm{xsin}\left(\mathrm{2x}\right)}{\left(\left(\mathrm{x}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\right)^{\mathrm{2}} \:+\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{4}}\right)^{\mathrm{2}} } \\ $$$$=_{\mathrm{x}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}=\frac{\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{2}}\mathrm{u}} \:\frac{\mathrm{16}}{\mathrm{9}}\:\:\int_{−\infty} ^{+\infty} \:\frac{\left(\frac{\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{2}}\mathrm{u}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\right)\mathrm{sin}\left(\mathrm{2}\left(\frac{\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{2}}\mathrm{u}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\right)\right)}{\left(\mathrm{u}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }×\frac{\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{2}}\mathrm{du} \\ $$$$=\frac{\mathrm{4}\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{9}}\:\int_{−\infty} ^{+\infty} \:\frac{\left(\sqrt{\mathrm{3}}\mathrm{u}−\mathrm{1}\right)\mathrm{sin}\left(\sqrt{\mathrm{3}}\mathrm{u}−\mathrm{1}\right)}{\left(\mathrm{u}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }\mathrm{du}\:=\frac{\mathrm{4}\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{9}}\:\mathrm{Im}\left(\int_{−\infty} ^{+\infty} \:\frac{\left(\sqrt{\mathrm{3}}\mathrm{u}−\mathrm{1}\right)\mathrm{e}^{\mathrm{i}\left(\sqrt{\mathrm{3}}\mathrm{u}−\mathrm{1}\right)} }{\left(\mathrm{u}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }\mathrm{du}\right) \\ $$$$\mathrm{let}\:\varphi\left(\mathrm{z}\right)\:=\frac{\left(\sqrt{\mathrm{3}}\mathrm{z}−\mathrm{1}\right)\mathrm{e}^{\mathrm{i}\left(\sqrt{\mathrm{3}}\mathrm{z}−\mathrm{1}\right)} }{\left(\mathrm{z}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }\:\:\mathrm{poles}\:\mathrm{of}\:\varphi? \\ $$$$\varphi\left(\mathrm{z}\right)\:=\frac{\left(\sqrt{\mathrm{3}}\mathrm{z}−\mathrm{1}\right)\mathrm{e}^{\mathrm{i}\left(\sqrt{\mathrm{3}}\mathrm{z}−\mathrm{1}\right)} }{\left(\mathrm{z}−\mathrm{i}\right)^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{z}+\mathrm{i}\right)^{\mathrm{2}} }\:\Rightarrow \\ $$$$\int_{−\infty} ^{+\infty} \:\varphi\left(\mathrm{z}\right)\mathrm{dz}\:=\mathrm{2i}\pi\:\mathrm{Res}\left(\varphi,\mathrm{i}\right) \\ $$$$\mathrm{Res}\left(\varphi,\mathrm{i}\right)\:=\mathrm{lim}_{\mathrm{z}\rightarrow\mathrm{i}} \:\:\:\frac{\mathrm{1}}{\left(\mathrm{2}−\mathrm{1}\right)!}\left\{\left(\mathrm{z}−\mathrm{i}\right)^{\mathrm{2}} \:\varphi\left(\mathrm{z}\right)\right\}^{\left(\mathrm{1}\right)} \:=\mathrm{lim}_{\mathrm{z}\rightarrow\mathrm{i}} \left\{\:\:\:\frac{\left(\sqrt{\mathrm{3}}\mathrm{z}−\mathrm{1}\right)\mathrm{e}^{\mathrm{i}\left(\sqrt{\mathrm{3}}\mathrm{z}−\mathrm{1}\right)} }{\left(\mathrm{z}+\mathrm{i}\right)^{\mathrm{2}} }\right\}^{\left(\mathrm{1}\right)} \\ $$$$=\mathrm{lim}_{\mathrm{z}\rightarrow\mathrm{i}} \:\:\:\frac{\left(\sqrt{\mathrm{3}}\mathrm{e}^{\mathrm{i}\left(\sqrt{\mathrm{3}}\mathrm{z}−\mathrm{1}\right)} \:\:+\mathrm{i}\sqrt{\mathrm{3}}\left(\sqrt{\mathrm{3}}\mathrm{z}−\mathrm{1}\right)\mathrm{e}^{\mathrm{i}\left(\sqrt{\mathrm{3}}\mathrm{z}−\mathrm{1}\right)} \right)\left(\mathrm{z}+\mathrm{i}\right)^{\mathrm{2}} −\mathrm{2}\left(\mathrm{z}+\mathrm{i}\right)\left(\sqrt{\mathrm{3}}\mathrm{z}−\mathrm{1}\right)\mathrm{e}^{\mathrm{i}\left(\sqrt{\mathrm{3}}\mathrm{z}−\mathrm{1}\right)} }{\left(\mathrm{z}+\mathrm{i}\right)^{\mathrm{4}} } \\ $$$$=\mathrm{lim}_{\mathrm{z}\rightarrow\mathrm{i}} \:\:\:\frac{\left(\mathrm{z}+\mathrm{i}\right)\left(\sqrt{\mathrm{3}}+\mathrm{3iz}−\mathrm{i}\sqrt{\mathrm{3}}\right)\mathrm{e}^{\mathrm{i}\left(\sqrt{\mathrm{3}}\mathrm{z}−\mathrm{1}\right)} −\mathrm{2}\left(\sqrt{\mathrm{3}}\mathrm{z}−\mathrm{1}\right)\mathrm{e}^{\mathrm{i}\left(\sqrt{\mathrm{3}}\mathrm{z}−\mathrm{1}\right)} }{\left(\mathrm{z}+\mathrm{i}\right)^{\mathrm{3}} } \\ $$$$=\frac{\left(\mathrm{2i}\right)\left(\sqrt{\mathrm{3}}−\mathrm{3}−\mathrm{i}\sqrt{\mathrm{3}}\right)\mathrm{e}^{−\sqrt{\mathrm{3}}−\mathrm{i}} \:−\mathrm{2}\left(\sqrt{\mathrm{3}}\mathrm{i}−\mathrm{1}\right)\mathrm{e}^{−\sqrt{\mathrm{3}}−\mathrm{i}} }{\left(\mathrm{2i}\right)^{\mathrm{3}} } \\ $$$$=\frac{\left(\mathrm{2i}\sqrt{\mathrm{3}}−\mathrm{6i}+\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{3}}−\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{3}}\mathrm{i}+\mathrm{2}\right)\mathrm{e}^{−\sqrt{\mathrm{3}}−\mathrm{i}} }{−\mathrm{8i}}\:=\frac{\left(−\mathrm{6i}+\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{3}}+\mathrm{2}\right)\mathrm{e}^{−\sqrt{\mathrm{3}}−\mathrm{i}} }{−\mathrm{8i}} \\ $$$$=\frac{\left(\mathrm{3i}−\sqrt{\mathrm{3}}−\mathrm{1}\right)\mathrm{e}^{−\sqrt{\mathrm{3}}−\mathrm{i}} }{\mathrm{4i}}\:\Rightarrow\int_{−\infty} ^{+\infty} \:\varphi\left(\mathrm{z}\right)\mathrm{dz}\:=\mathrm{2i}\pi×\frac{\left(−\sqrt{\mathrm{3}}−\mathrm{1}+\mathrm{3i}\right)\mathrm{e}^{−\sqrt{\mathrm{3}}−\mathrm{i}} }{\mathrm{4i}} \\ $$$$=\frac{\pi}{\mathrm{2}}\:\mathrm{e}^{−\sqrt{\mathrm{3}}} \left\{\left(−\sqrt{\mathrm{3}}−\mathrm{1}+\mathrm{3i}\right)\left(\mathrm{cos}\left(\mathrm{1}\right)−\mathrm{isin}\left(\mathrm{1}\right)\right\}\right. \\ $$$$=\frac{\pi}{\mathrm{2}}\mathrm{e}^{−\sqrt{\mathrm{3}}} \left\{\:\left(−\sqrt{\mathrm{3}}−\mathrm{1}\right)\mathrm{cos}\left(\mathrm{1}\right)+\mathrm{3icos}\left(\mathrm{1}\right)−\left(−\sqrt{\mathrm{3}}−\mathrm{1}\right)\mathrm{isin}\left(\mathrm{1}\right)\:+\mathrm{3sin}\left(\mathrm{1}\right)\right\}\:\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{A}\:=\frac{\pi}{\mathrm{2}}\mathrm{e}^{−\sqrt{\mathrm{3}}} \left\{\mathrm{3cos}\left(\mathrm{1}\right)+\left(\mathrm{1}+\sqrt{\mathrm{3}}\right)\mathrm{sin}\left(\mathrm{1}\right)\right\} \\ $$$$ \\ $$

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