Question Number 126969 by mnjuly1970 last updated on 25/Dec/20
$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:{calculus} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:{please}\:\:{evaluate}\::: \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\phi\:=\int_{\mathrm{0}} ^{\:\mathrm{1}} \lfloor{ln}\left({x}\right)\rfloor{dx}=? \\ $$$$ \\ $$
Answered by mindispower last updated on 25/Dec/20
![ln(x)=t =∫_(−∞) ^0 [t]e^t =Σ_(k=0) ^∞ ∫_(−k−1) ^(−k) [t]e^t dt =−Σ_(k=0) ^∞ ∫_(−k−1) ^(−k) (k+1)e^t = =−Σ_(k=0) ^∞ (k+1)(e^(−k) −e^(−k−1) )dt =−Σ(ke^(−k) −(k+1)e^(−(k+1)) )−Σ_(k=0) ^∞ e^(−k) =−(lim_(N→∞) (−(N+1)e^(−(N+1)) )+((1−e^(−(N+1)) )/(1−e^(−1) ))) =−(1/(1−e^(−1) ))=−(e/(e−1))](https://www.tinkutara.com/question/Q126979.png)
$${ln}\left({x}\right)={t} \\ $$$$=\int_{−\infty} ^{\mathrm{0}} \left[{t}\right]{e}^{{t}} \\ $$$$=\underset{{k}=\mathrm{0}} {\overset{\infty} {\sum}}\int_{−{k}−\mathrm{1}} ^{−{k}} \left[{t}\right]{e}^{{t}} {dt} \\ $$$$=−\underset{{k}=\mathrm{0}} {\overset{\infty} {\sum}}\int_{−{k}−\mathrm{1}} ^{−{k}} \left({k}+\mathrm{1}\right){e}^{{t}} = \\ $$$$=−\underset{{k}=\mathrm{0}} {\overset{\infty} {\sum}}\left({k}+\mathrm{1}\right)\left({e}^{−{k}} −{e}^{−{k}−\mathrm{1}} \right){dt} \\ $$$$=−\Sigma\left({ke}^{−{k}} −\left({k}+\mathrm{1}\right){e}^{−\left({k}+\mathrm{1}\right)} \right)−\underset{{k}=\mathrm{0}} {\overset{\infty} {\sum}}{e}^{−{k}} \\ $$$$=−\left(\underset{{N}\rightarrow\infty} {\mathrm{lim}}\left(−\left({N}+\mathrm{1}\right){e}^{−\left({N}+\mathrm{1}\right)} \right)+\frac{\mathrm{1}−{e}^{−\left({N}+\mathrm{1}\right)} }{\mathrm{1}−{e}^{−\mathrm{1}} }\right) \\ $$$$=−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}−{e}^{−\mathrm{1}} }=−\frac{{e}}{{e}−\mathrm{1}} \\ $$
Commented by mnjuly1970 last updated on 25/Dec/20
$${mercey}\:{sir}\:{midspowdr} \\ $$$${grateful}… \\ $$
Answered by mathmax by abdo last updated on 27/Dec/20
![Φ=∫_0 ^1 [lnx]dx we do the changement lnx=−t ⇒x=e^(−t) ⇒ Φ=−∫_0 ^∞ [−t](−e^(−t) )dt =∫_0 ^∞ [−t] e^(−t) dt =Σ_(n=0) ^∞ ∫_n ^(n+1) [−t]e^(−t) dt we have n≤t≤n+1 ⇒−n−1≤−t≤−n ⇒ [−t]=−(n+1) ⇒Φ =−Σ_(n=0) ^∞ ∫_n ^(n+1) −(n+1)e^(−t) dt =Σ_(n=0) ^∞ (n+1)[−e^(−t) ]_n ^(n+1) =Σ_(n=0) ^∞ (n+1)(e^(−n) −e^(−(n+1)) ) =Σ_(n=0) ^∞ (n+1)e^(−n) −Σ_(n=0) ^∞ (n+1)e^(−(n+1)) =Σ_(n=1) ^∞ n e^(−(n−1)) −Σ_(n=1) ^∞ n e^(−n) =(e−1)Σ_(n=1) ^∞ n((1/e))^n we have Σ_(n=0) ^∞ x^n =(1/(1−x)) for∣x∣<1 ⇒ Σ_(n=1) ^∞ nx^(n−1) =(1/((1−x)^2 )) ⇒Σ_(n=1) ^∞ nx^n =(x/((1−x)^2 )) ⇒ Σ_(n=1) ^∞ n((1/e))^n =(1/(e((1/e)−1)^2 )) =(e/((1−e)^2 )) ⇒Φ =(e−1)×(e/((1−e)^2 ))=(e/(1−e))](https://www.tinkutara.com/question/Q127204.png)
$$\Phi=\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \left[\mathrm{lnx}\right]\mathrm{dx}\:\mathrm{we}\:\mathrm{do}\:\mathrm{the}\:\mathrm{changement}\:\mathrm{lnx}=−\mathrm{t}\:\Rightarrow\mathrm{x}=\mathrm{e}^{−\mathrm{t}} \:\Rightarrow \\ $$$$\Phi=−\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \left[−\mathrm{t}\right]\left(−\mathrm{e}^{−\mathrm{t}} \right)\mathrm{dt}\:=\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \:\left[−\mathrm{t}\right]\:\mathrm{e}^{−\mathrm{t}} \:\mathrm{dt} \\ $$$$=\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{0}} ^{\infty} \:\int_{\mathrm{n}} ^{\mathrm{n}+\mathrm{1}} \left[−\mathrm{t}\right]\mathrm{e}^{−\mathrm{t}} \:\mathrm{dt}\:\:\:\mathrm{we}\:\mathrm{have}\:\:\mathrm{n}\leqslant\mathrm{t}\leqslant\mathrm{n}+\mathrm{1}\:\Rightarrow−\mathrm{n}−\mathrm{1}\leqslant−\mathrm{t}\leqslant−\mathrm{n}\:\Rightarrow \\ $$$$\left[−\mathrm{t}\right]=−\left(\mathrm{n}+\mathrm{1}\right)\:\Rightarrow\Phi\:=−\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{0}} ^{\infty} \int_{\mathrm{n}} ^{\mathrm{n}+\mathrm{1}} −\left(\mathrm{n}+\mathrm{1}\right)\mathrm{e}^{−\mathrm{t}} \:\mathrm{dt} \\ $$$$=\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{0}} ^{\infty} \left(\mathrm{n}+\mathrm{1}\right)\left[−\mathrm{e}^{−\mathrm{t}} \right]_{\mathrm{n}} ^{\mathrm{n}+\mathrm{1}} \:=\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{0}} ^{\infty} \:\left(\mathrm{n}+\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{e}^{−\mathrm{n}} −\mathrm{e}^{−\left(\mathrm{n}+\mathrm{1}\right)} \right) \\ $$$$=\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{0}} ^{\infty} \:\left(\mathrm{n}+\mathrm{1}\right)\mathrm{e}^{−\mathrm{n}} \:−\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{0}} ^{\infty} \:\left(\mathrm{n}+\mathrm{1}\right)\mathrm{e}^{−\left(\mathrm{n}+\mathrm{1}\right)} \\ $$$$=\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \mathrm{n}\:\mathrm{e}^{−\left(\mathrm{n}−\mathrm{1}\right)} \:−\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \mathrm{n}\:\mathrm{e}^{−\mathrm{n}} \\ $$$$=\left(\mathrm{e}−\mathrm{1}\right)\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \:\mathrm{n}\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{e}}\right)^{\mathrm{n}} \:\:\:\mathrm{we}\:\mathrm{have}\:\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{0}} ^{\infty} \:\mathrm{x}^{\mathrm{n}} \:=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}−\mathrm{x}}\:\mathrm{for}\mid\mathrm{x}\mid<\mathrm{1}\:\Rightarrow \\ $$$$\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \:\mathrm{nx}^{\mathrm{n}−\mathrm{1}} \:=\frac{\mathrm{1}}{\left(\mathrm{1}−\mathrm{x}\right)^{\mathrm{2}} }\:\Rightarrow\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \:\mathrm{nx}^{\mathrm{n}} \:=\frac{\mathrm{x}}{\left(\mathrm{1}−\mathrm{x}\right)^{\mathrm{2}} }\:\Rightarrow \\ $$$$\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \:\mathrm{n}\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{e}}\right)^{\mathrm{n}} \:=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{e}\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{e}}−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }\:=\frac{\mathrm{e}}{\left(\mathrm{1}−\mathrm{e}\right)^{\mathrm{2}} }\:\Rightarrow\Phi\:=\left(\mathrm{e}−\mathrm{1}\right)×\frac{\mathrm{e}}{\left(\mathrm{1}−\mathrm{e}\right)^{\mathrm{2}} }=\frac{\mathrm{e}}{\mathrm{1}−\mathrm{e}} \\ $$$$ \\ $$