Question Number 126631 by mnjuly1970 last updated on 23/Dec/20
$$\:\:\:\: \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:…{calculus}… \\ $$$$\:\:\:\:\:{prove}\:{that}:: \\ $$$$\:\:\:\:::\:\:\:\:\:\:\Omega\overset{??} {=}\:\int_{\mathrm{0}} ^{\:\mathrm{1}} {x}^{{n}−\mathrm{1}} {ln}^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{1}−{x}\right){dx} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:=\:\frac{\mathrm{2}}{{n}}\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{{n}} {\sum}}\left(\frac{{H}_{{k}} }{{k}}\right)\:\checkmark \\ $$$$ \\ $$$$\:\:\: \\ $$
Answered by mindispower last updated on 23/Dec/20
$$\beta\left({x},{y}\right)=\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} {t}^{{x}−\mathrm{1}} \left(\mathrm{1}−{t}\right)^{{y}−\mathrm{1}} {dt} \\ $$$$\frac{\partial^{\mathrm{2}} \beta}{\partial{y}^{\mathrm{2}} }=\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} {t}^{{x}−\mathrm{1}} {ln}^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{1}−{t}\right){y}^{{t}−\mathrm{1}} {dt} \\ $$$$\frac{\partial^{\mathrm{2}} \beta\left({x},{y}\right)}{\partial{y}^{\mathrm{2}} }\mid_{\left({x},{y}\right)=\left({n},\mathrm{1}\right)} =\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} {t}^{{n}−\mathrm{1}} {ln}^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{1}−{t}\right){dt} \\ $$$$\frac{\partial\beta}{\partial{y}}=\left(\Psi\left({y}\right)−\Psi\left({x}+{y}\right)\right)\beta\left({x},{y}\right) \\ $$$$\frac{\partial^{\mathrm{2}} \beta}{\partial{y}^{\mathrm{2}} }=\left(\Psi^{\mathrm{1}} \left({y}\right)−\Psi^{\mathrm{1}} \left({x}+{y}\right)\right)\beta\left({x},{y}\right)+\left(\Psi\left({y}\right)−\Psi\left({x}+{y}\right)\right)^{\mathrm{2}} \beta\left({x},{y}\right) \\ $$$$\Omega=\left(\Psi^{\mathrm{1}} \left(\mathrm{1}\right)−\Psi^{\mathrm{1}} \left(\mathrm{1}+{n}\right)\right)\beta\left(\mathrm{1},{n}\right)+\left(\Psi\left(\mathrm{1}\right)−\Psi\left(\mathrm{1}+{n}\right)\right)^{\mathrm{2}} \beta\left(\mathrm{1},{n}\right) \\ $$$$\Omega=\left(\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{{n}} {\sum}}\:\frac{\mathrm{1}}{{k}^{\mathrm{2}} }\right)\frac{\mathrm{1}}{{n}}+\left(\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{{n}} {\sum}}\frac{\mathrm{1}}{{k}}\right)^{\mathrm{2}} .\frac{\mathrm{1}}{{n}} \\ $$$${H}_{{n}} =\underset{{k}\leqslant{n}} {\sum}\frac{\mathrm{1}}{{k}},{H}_{{n}} ^{\left(\mathrm{2}\right)} =\underset{{k}\leqslant{n}} {\sum}\frac{\mathrm{1}}{{k}^{\mathrm{2}} } \\ $$$$=\frac{{H}_{{n}} ^{\left(\mathrm{2}\right)} +{H}_{{n}} }{{n}} \\ $$
Commented by mnjuly1970 last updated on 23/Dec/20
$${very}\:{nice}..{thanking}… \\ $$
Answered by mnjuly1970 last updated on 23/Dec/20
$${solution}: \\ $$$$\:\:{consider}: \\ $$$$\:\:\:\:\:{I}_{{n}} =\int_{\mathrm{0}} ^{\:\mathrm{1}} {x}^{{n}−\mathrm{1}} {ln}\left(\mathrm{1}−{x}\right){dx} \\ $$$$\:\:\:\:\:{we}\:{can}\:{write}: \\ $$$$\:\:\:\:\:{I}_{{n}} =\frac{\mathrm{1}}{{n}}\int\left({x}^{{n}} −\mathrm{1}\right)\overset{'} {\:}{ln}\left(\mathrm{1}−{x}\right){dx} \\ $$$$\:\:\:\:\:=\frac{\mathrm{1}}{{n}}\left\{\left[\left({x}^{{n}} −\mathrm{1}\right){ln}\left(\mathrm{1}−{x}\right)\right]_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} +\int_{\mathrm{0}} ^{\:\mathrm{1}} \frac{{x}^{{n}} −\mathrm{1}}{\mathrm{1}−{x}}{dx}\right\} \\ $$$$=\frac{−{H}_{{n}} }{{n}}\:\:….\:\left(\mathrm{1}\right) \\ $$$$\:{put}::\:\:\Omega=\int_{\mathrm{0}} ^{\:\mathrm{1}} {x}^{{n}−\mathrm{1}} {ln}^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{1}−{x}\right){dx} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:=\frac{\mathrm{1}}{{n}}\int_{\mathrm{0}} ^{\:\mathrm{1}} \left({x}^{{n}} −\mathrm{1}\right)\overset{'} {\:}{ln}^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{1}−{x}\right){dx} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:=\frac{\mathrm{1}}{{n}}\left\{\left[\left({x}^{{n}} −\mathrm{1}\right){ln}^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{1}−{x}\right)\right]_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} +\mathrm{2}\int_{\mathrm{0}} ^{\:\mathrm{1}} \frac{{x}^{{n}} −\mathrm{1}}{\mathrm{1}−{x}}{ln}\left(\mathrm{1}−{x}\right){dx}\right. \\ $$$$\:\:=\frac{\mathrm{2}}{{n}}\:\int_{\mathrm{0}} ^{\:\mathrm{1}} \left(−\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{{n}} {\sum}}{x}^{{k}−\mathrm{1}} \right){ln}\left(\mathrm{1}−{x}\right){dx} \\ $$$$\:=\frac{−\mathrm{2}}{{n}^{\mathrm{2}} }\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{{n}} {\sum}}\int_{\mathrm{0}} ^{\:\mathrm{1}} {x}^{{k}−\mathrm{1}} {ln}\left(\mathrm{1}−{x}\right){dx}=\frac{\mathrm{2}}{{n}}\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{{n}} {\sum}}\frac{{H}_{{k}} }{{k}}\:\checkmark \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\: \\ $$