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Question Number 19574 by Tinkutara last updated on 12/Aug/17

$$\mathrm{Carol}\mathrm{was}\mathrm{given}\mathrm{three}\mathrm{numbers}\mathrm{and}$$$$\mathrm{was}\mathrm{asked}\mathrm{to}\mathrm{add}\mathrm{the}\mathrm{largest}\mathrm{of}\mathrm{the}$$$$\mathrm{three}\mathrm{to}\mathrm{the}\mathrm{product}\mathrm{of}\mathrm{the}\mathrm{other}\mathrm{two}.$$$$\mathrm{Instead},\mathrm{she}\mathrm{multiplied}\mathrm{the}\mathrm{largest}\mathrm{with}$$$$\mathrm{the}\mathrm{sum}\mathrm{of}\mathrm{the}\mathrm{other}\mathrm{two},\mathrm{but}\mathrm{still}\mathrm{got}$$$$\mathrm{the}\mathrm{right}\mathrm{answer}.\mathrm{What}\mathrm{is}\mathrm{the}\mathrm{sum}\mathrm{of}$$$$\mathrm{the}\mathrm{three}\mathrm{numbers}?$$

Commented by Tinkutara last updated on 13/Aug/17

$$\mathrm{Thank}\mathrm{you}\mathrm{very}\mathrm{much}\mathrm{Sir}!$$

Commented by ajfour last updated on 12/Aug/17

$$\mathrm{positive}\mathrm{integers}?$$

Commented by Tinkutara last updated on 12/Aug/17

$$\mathrm{This}\mathrm{was}\mathrm{the}\mathrm{exact}\mathrm{question}\mathrm{but}\mathrm{it}\mathrm{was}$$$$\mathrm{cancelled}.\mathrm{So}\mathrm{I}\mathrm{think}\mathrm{they}\mathrm{should}\mathrm{be}$$$$\mathrm{positive}\mathrm{integers}\mathrm{and}\mathrm{we}\mathrm{have}\mathrm{to}\mathrm{find}$$$$\mathrm{the}\mathrm{minimum}\mathrm{sum}.$$

Commented by RasheedSindhi last updated on 12/Aug/17

$$\mathrm{Many}\mathrm{triplets}\mathrm{are}\mathrm{there}\mathrm{having}$$$$\mathrm{given}\mathrm{propefty}:$$$$2,1,0;3,1,0;4,1,0\mathrm{etc}$$$$2+1\times 0=2\times (1+0)$$$$3+1\times 0=3\times (1+0)$$$$4+1\times 0=4\times (1+0)$$$$\mathrm{So}{\mathrm{there}}^{\prime }\mathrm{s}\mathrm{no}\mathrm{unique}\mathrm{sum}.$$

Commented by ajfour last updated on 13/Aug/17

$$\mathrm{let}0<\mathrm{a}<\mathrm{b}<\mathrm{c}$$$$\mathrm{c}(\mathrm{a}+\mathrm{b})=\mathrm{c}+\mathrm{ab}$$$$\Rightarrow \mathrm{c}=\frac{\mathrm{ab}}{\mathrm{a}+\mathrm{b}-1}=\frac{\mathrm{b}}{1+\left(\frac{\mathrm{b}-1}{\mathrm{a}}\right)}$$$$\mathrm{if}\mathrm{c}>\mathrm{b}\mathrm{then}1+\left(\frac{\mathrm{b}-1}{\mathrm{a}}\right)<1$$$$\mathrm{or}\frac{\mathrm{b}-1}{\mathrm{a}}<0\Rightarrow \mathrm{b}<\mathrm{a}+1$$$$\mathrm{but}\mathrm{b}>\mathrm{a}\Rightarrow \mathrm{a}<\mathrm{b}<\mathrm{a}+1$$$$\mathrm{how}\mathrm{can}\mathrm{this}\mathrm{be}\mathrm{possible}\mathrm{for}$$$$\mathrm{positive}\mathrm{integers}?..$$$$\mathrm{therefore}\mathrm{let}\mathrm{a}=\mathrm{b}=\mathrm{n}$$$$\mathrm{so}\mathrm{c}+\mathrm{ab}=\mathrm{c}(\mathrm{a}+\mathrm{b})$$$$\Rightarrow \mathrm{c}=\frac{{\mathrm{n}}^2}{2\mathrm{n}-1}$$$$\mathrm{if}\mathrm{a}=\mathrm{b}=\mathrm{n}=1\Rightarrow \mathrm{c}=1$$$$\mathrm{minimum}\mathrm{sum}=3.$$

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