Question Number 27559 by Rasheed.Sindhi last updated on 09/Jan/18
$$\mathrm{Change}\:\mathrm{in}\:\mathrm{Q}#\mathrm{27507} \\ $$$$\mathrm{Solve}\:\mathrm{simultaneously}: \\ $$$$\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{x}}+\mathrm{y}=\mathrm{13} \\ $$$$\mathrm{x}+\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{y}}=\mathrm{10} \\ $$
Commented by Rasheed.Sindhi last updated on 09/Jan/18
$$\mathrm{x}=\mathrm{4},\mathrm{y}=\mathrm{9}\:\mathrm{is}\:\mathrm{solution}\: \\ $$$$\mathrm{Method}\:\mathrm{of}\:\mathrm{solving}\:\mathrm{is}\:\mathrm{required}. \\ $$
Answered by Amstrongmazoka last updated on 09/Jan/18
$${From}\:{equation}\:\left(\mathrm{1}\right)\:{y}=\mathrm{13}−\mathrm{2}\sqrt{{x}} \\ $$$$\Rightarrow\:{substituting}\:{for}\:{y}\:{in}\:{equation}\left(\mathrm{2}\right),\:{gives}, \\ $$$${x}+\mathrm{2}\sqrt{\left(\mathrm{13}−\mathrm{2}\sqrt{{x}}\right)}=\mathrm{10}\:\:\:\:\therefore\:\sqrt{\left(\mathrm{13}−\mathrm{2}\sqrt{{x}}\right)}=\mathrm{5}−\frac{{x}}{\mathrm{2}} \\ $$$${Now}\:{squaring}\:{above}\:{sides},\:{gives} \\ $$$$\mathrm{13}−\mathrm{2}\sqrt{{x}}=\left(\mathrm{5}−\frac{{x}}{\mathrm{2}}\right)^{\mathrm{2}} \:\:\:\:\:\:\Rightarrow\mathrm{13}−\mathrm{2}\sqrt{{x}}=\mathrm{25}−\mathrm{5}{x}+\frac{{x}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{4}} \\ $$$$\therefore\:−\mathrm{2}\sqrt{{x}}=\mathrm{12}−\mathrm{5}{x}+\frac{{x}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{4}}.\:\:\:{Again},\:{squaring}\:{both}\:{sides}\:{gives} \\ $$$$\mathrm{4}{x}=\mathrm{144}−\mathrm{120}{x}+\mathrm{25}{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{6}{x}^{\mathrm{2}} −\frac{\mathrm{5}{x}^{\mathrm{3}} }{\mathrm{2}}+\frac{{x}^{\mathrm{4}} }{\mathrm{16}}.\: \\ $$$${Grouping}\:{like}\:{terms}\:{gives} \\ $$$$\frac{{x}^{\mathrm{4}} }{\mathrm{16}}−\frac{\mathrm{5}{x}^{\mathrm{3}} }{\mathrm{2}}+\mathrm{31}{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{124}{x}+\mathrm{144}=\mathrm{0}.\:{Multiplying}\:{through}\:{by}\:\mathrm{16}\:{gives} \\ $$$${x}^{\mathrm{4}} −\mathrm{40}{x}^{\mathrm{3}} +\mathrm{496}{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1984}{x}+\mathrm{2304}=\mathrm{0}.\:{This}\:{is}\:{a}\:{polynomial}\:{of}\:{degree}\:\mathrm{4}\:{and}\:{it}\:{can}\:{be}\:{solved}\:{using}\:{factorisation}\:{or}\:{Newton}'\:{method}. \\ $$$${Let}\:{f}\left({x}\right)={x}^{\mathrm{4}} −\mathrm{40}{x}^{\mathrm{3}} +\mathrm{496}{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1984}{x}+\mathrm{2304} \\ $$$$\Rightarrow{f}\left(\mathrm{4}\right)=\mathrm{4}^{\mathrm{4}} −\mathrm{40}\left(\mathrm{4}^{\mathrm{3}} \right)+\mathrm{496}\left(\mathrm{4}^{\mathrm{2}} \right)−\mathrm{1984}\left(\mathrm{4}\right)+\mathrm{2304}=\mathrm{0} \\ $$$${By}\:{the}\:{factor}\:{theorem}\:{since}\:{f}\left(\mathrm{4}\right)=\mathrm{0},\:\Rightarrow\left({x}−\mathrm{4}\right)\:{is}\:{a}\:{factor}\:{of}\:{f}\left({x}\right). \\ $$$${The}\:{other}\:{factors}\:{are}\:{found}\:{as}\:{follows}: \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:{x}^{\mathrm{3}} \:−\mathrm{36}{x}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{352}{x}−\mathrm{576} \\ $$$$\left({x}−\mathrm{4}\right)\sqrt{{x}^{\mathrm{4}} −\mathrm{40}{x}^{\mathrm{3}} +\mathrm{496}{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1984}{x}+\mathrm{2304}} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:−\left({x}^{\mathrm{4}} −\mathrm{4}{x}^{\mathrm{3}} \right) \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:−\mathrm{36}{x}^{\mathrm{3}} +\mathrm{496}{x}^{\mathrm{2}} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:−\left(−\mathrm{36}{x}^{\mathrm{3}} +\mathrm{144}{x}^{\mathrm{2}} \right)\:\: \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{352}{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1984}{x} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:−\left(\mathrm{352}{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1408}{x}\right) \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:−\mathrm{576}{x}+\mathrm{2304} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:−\left(−\mathrm{576}{x}+\mathrm{2304}\right) \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:−−−−−−− \\ $$$$\therefore{f}\left({x}\right)=\left({x}−\mathrm{4}\right)\left({x}^{\mathrm{3}} −\mathrm{36}{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{352}{x}−\mathrm{576}\right)\Rightarrow{x}=\mathrm{4},\:\:{x}=\mathrm{2}.\mathrm{0365},\:\:\:{x}=\mathrm{19}.\mathrm{337} \\ $$$${But}\:{y}=\mathrm{13}−\mathrm{2}\sqrt{{x}},\Rightarrow{when}\:{x}=\mathrm{4},\:{y}=\mathrm{13}−\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{4}}=\mathrm{9},\:{when}\:{x}=\mathrm{2}.\mathrm{0365},\:\:{y}=\mathrm{13}−\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{2}.\mathrm{0365}}=\mathrm{10}.\mathrm{1459}\:{and}\:{when}\:{x}=\mathrm{19}.\mathrm{337},\:{y}=\mathrm{13}−\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{19}.\mathrm{337}}=\mathrm{4}.\mathrm{2052} \\ $$$${thus}\:\left({x}=\mathrm{4},\:{y}=\mathrm{9}\right),\:\:\:\left({x}=\mathrm{2}.\mathrm{0365},\:{y}=\mathrm{10}.\mathrm{1459}\right)\:\:{and}\:\left({x}=\mathrm{19}.\mathrm{337},\:{y}=\mathrm{4}.\mathrm{2052}\right) \\ $$$${are}\:{the}\:{possible}\:{pairs}\:{from}\:{which}\:{a}\:{solution}\:{can}\:{be}\:{found}. \\ $$$${amount}\:{them},\:{only}\:{the}\:{first}\:{pair}\:{satisfy}\:{the}\:{equations}\:{simultaneously}. \\ $$$$\therefore\:{x}=\mathrm{4},\:{y}=\mathrm{9} \\ $$
Commented by Rasheed.Sindhi last updated on 09/Jan/18
$$\mathrm{In}\:\mathrm{finding}\:\mathrm{factors}\:\mathrm{trial}\:\mathrm{method}\: \\ $$$$\mathrm{is}\:\mathrm{involved}. \\ $$$$\mathcal{A}{nyWay}\:\mathcal{T}{han}\mathcal{X}-{a}-{lot}! \\ $$
Commented by Rasheed.Sindhi last updated on 09/Jan/18
$$\mathrm{What}\:\mathrm{if}\:\mathrm{we}\:\mathrm{are}\:\mathrm{only}\:\mathrm{sure}\:\mathrm{of} \\ $$$$\boldsymbol{\mathrm{real}}\:\mathrm{roots}? \\ $$
Answered by Rasheed.Sindhi last updated on 10/Jan/18
$$\mathrm{Trying}\:\mathrm{to}\:\mathrm{find}\:\mathrm{solution}\:\mathrm{in} \\ $$$$\mathrm{whole}\:\mathrm{numbers}. \\ $$$$\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{x}}+\mathrm{y}=\mathrm{13}……..\left(\mathrm{i}\right) \\ $$$$\mathrm{x}+\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{y}}=\mathrm{10}……..\left(\mathrm{ii}\right) \\ $$$$\left(\mathrm{i}\right)\Rightarrow\sqrt{\mathrm{x}}=\frac{\mathrm{13}−\mathrm{y}}{\mathrm{2}}……….\left(\mathrm{iii}\right) \\ $$$$\left(\mathrm{ii}\right)\Rightarrow\mathrm{x}=\mathrm{10}−\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{y}} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\sqrt{\mathrm{x}}=\sqrt{\mathrm{10}−\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{y}}}……\left(\mathrm{iv}\right) \\ $$$$\left(\mathrm{iii}\right)\:\&\:\left(\mathrm{iv}\right)\Rightarrow\frac{\mathrm{13}−\mathrm{y}}{\mathrm{2}}=\sqrt{\mathrm{10}−\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{y}}} \\ $$$$\sqrt{\mathrm{p}−\mathrm{q}\sqrt{\mathrm{c}}}\:\mathrm{can}\:\mathrm{be}\:\mathrm{changed}\:\mathrm{into} \\ $$$$\mathrm{a}+\mathrm{b}\sqrt{\mathrm{c}}\:\mathrm{form}\:\mathrm{in}\:\mathrm{some}\:\mathrm{cases}\:\mathrm{and} \\ $$$$\mathrm{the}\:\mathrm{process}\:\mathrm{is}\:\mathrm{as}\:\mathrm{under}. \\ $$$$\mathrm{Let}\:\sqrt{\mathrm{10}−\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{y}}}=\mathrm{a}+\mathrm{b}\sqrt{\mathrm{y}}\:\:\:\:\mathrm{a},\mathrm{b}\in\mathbb{Q} \\ $$$$\:\:\:\:\:\left(\sqrt{\mathrm{10}−\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{y}}}\right)^{\mathrm{2}} =\left(\mathrm{a}+\mathrm{b}\sqrt{\mathrm{y}}\right)^{\mathrm{2}} \\ $$$$\:\mathrm{a}^{\mathrm{2}} +\mathrm{b}^{\mathrm{2}} \mathrm{y}+\mathrm{2ab}\sqrt{\mathrm{y}}=\mathrm{10}−\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{y}} \\ $$$$\:\:\mathrm{By}\:\mathrm{comparing}\:\mathrm{the}\:\mathrm{coefficients} \\ $$$$\mathrm{of}\:\sqrt{\mathrm{y}}\:\mathrm{and}\:\mathrm{the}\:\mathrm{terms}\:\mathrm{not}\:\mathrm{containing} \\ $$$$\sqrt{\mathrm{y}}\:\mathrm{we}'\mathrm{ll}\:\mathrm{get}: \\ $$$$\mathrm{a}^{\mathrm{2}} +\mathrm{b}^{\mathrm{2}} \mathrm{y}=\mathrm{10}\:\:\:\wedge\:\mathrm{2ab}=−\mathrm{2} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{ab}=−\mathrm{1} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{b}=−\mathrm{1}/\mathrm{a} \\ $$$$\mathrm{a}^{\mathrm{2}} +\left(−\mathrm{1}/\mathrm{a}\right)^{\mathrm{2}} \mathrm{y}=\mathrm{10} \\ $$$$\mathrm{a}^{\mathrm{4}} −\mathrm{10a}^{\mathrm{2}} +\mathrm{y}=\mathrm{0} \\ $$$$\mathrm{a}^{\mathrm{2}} =\frac{\mathrm{10}\pm\sqrt{\mathrm{100}−\mathrm{4y}}}{\mathrm{2}} \\ $$$$\:\:\frac{\mathrm{10}\pm\sqrt{\mathrm{100}−\mathrm{4y}}}{\mathrm{2}}\:\mathrm{is}\:\mathrm{perfect}\:\mathrm{square} \\ $$$$\mathrm{rational}\:\mathrm{number}\Rightarrow\mathrm{100}−\mathrm{4y}\:\mathrm{is} \\ $$$$\mathrm{perfect}\:\mathrm{square}\:\mathrm{rational}\:\mathrm{number} \\ $$$$\mathrm{and}\:\mathrm{non}-\mathrm{negative}. \\ $$$$\therefore\:\mathrm{y}=\mathrm{0},\mathrm{9},\mathrm{16},\mathrm{21} \\ $$$$\mathrm{y}=\mathrm{0}\Rightarrow\mathrm{a}=\frac{\mathrm{10}\pm\mathrm{10}}{\mathrm{2}}=\overset{×} {\sqrt{\mathrm{10}}},\mathrm{0} \\ $$$$\mathrm{a}\neq\mathrm{0}\:\mathrm{because}\:\mathrm{in}\:\mathrm{that}\:\mathrm{case}\:\mathrm{b}=−\mathrm{1}/\mathrm{0}=\infty \\ $$$$\mathrm{y}=\mathrm{9}\Rightarrow\mathrm{a}=\frac{\mathrm{10}\pm\mathrm{8}}{\mathrm{2}}=\mathrm{3},\mathrm{1} \\ $$$$\mathrm{y}=\mathrm{16}\Rightarrow\mathrm{a}=\frac{\mathrm{10}\pm\mathrm{6}}{\mathrm{2}}=\overset{×} {\sqrt{\mathrm{8}}}\:,\overset{×} {\sqrt{\mathrm{2}}}\: \\ $$$$\mathrm{y}=\mathrm{21}\Rightarrow\mathrm{a}=\frac{\mathrm{10}\pm\mathrm{4}}{\mathrm{2}}=\overset{×} {\sqrt{\mathrm{7}}}\:,\overset{×} {\sqrt{\mathrm{3}}} \\ $$$$\mathrm{So}\:\mathrm{y}\:\mathrm{may}\:\mathrm{be}\:\mathrm{9}\:\:\mathrm{and}\:\mathrm{a}=\mathrm{1},\mathrm{3} \\ $$$$\mathrm{a}=\mathrm{3},\mathrm{b}=−\mathrm{1}/\mathrm{3}\:\&\:\mathrm{y}=\mathrm{9}\:\mathrm{satisfy}\:\mathrm{the} \\ $$$$\mathrm{following} \\ $$$$\:\sqrt{\mathrm{10}−\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{y}}}=\mathrm{a}+\mathrm{b}\sqrt{\mathrm{y}}\: \\ $$$$\sqrt{\mathrm{10}−\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{9}}}=\mathrm{3}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}\sqrt{\mathrm{9}} \\ $$$$\:\:\:\:\mathrm{2}=\mathrm{2} \\ $$$$\mathrm{Hence}\:\mathrm{y}=\mathrm{9} \\ $$$$\mathrm{Continue} \\ $$