Question Number 129688 by Engr_Jidda last updated on 17/Jan/21
$${complex}\:{analysis} \\ $$$$\oint_{{C}} \frac{\varrho^{\mathrm{2}{z}} +{sinz}^{\mathrm{2}} }{\left({z}−\mathrm{2}\right)\left({z}−\mathrm{3}\right)}{dz}\:\:\:{C}:\mid{Z}\mid=\mathrm{5} \\ $$
Answered by mathmax by abdo last updated on 17/Jan/21
$$\varphi\left(\mathrm{z}\right)=\frac{\mathrm{e}^{\mathrm{2z}} \:+\mathrm{sin}\left(\mathrm{z}^{\mathrm{2}} \right)}{\left(\mathrm{z}−\mathrm{2}\right)\left(\mathrm{z}−\mathrm{3}\right)}\:\mathrm{the}\:\mathrm{poles}\:\mathrm{of}\:\varphi\:\mathrm{are}\:\mathrm{2}\:\mathrm{and}\:\mathrm{3} \\ $$$$\int_{\mid\mathrm{z}\mid=\mathrm{5}} \:\:\varphi\left(\mathrm{z}\right)\mathrm{dz}=\mathrm{2i}\pi\left\{\:\mathrm{Res}\left(\varphi,\mathrm{2}\right)\:+\mathrm{Res}\left(\varphi,\mathrm{3}\right)\right\} \\ $$$$=\mathrm{2i}\pi\left\{\frac{\mathrm{e}^{\mathrm{4}} +\mathrm{sin}\left(\mathrm{4}\right)}{−\mathrm{1}}\:+\frac{\mathrm{e}^{\mathrm{6}} \:+\mathrm{sin9}}{\mathrm{1}}\right\}\:=\mathrm{2i}\pi\left\{\mathrm{e}^{\mathrm{6}} −\mathrm{e}^{\mathrm{4}} \:+\mathrm{sin9}−\mathrm{sin4}\right\} \\ $$