Consider-the-D-E-E-x-x-2-1-y-2y-x-3-x-1-2-e-x-a-Resolve-the-DE-x-x-3-1-y-2y-0-b-We-wish-to-find-a-function-g-x-such-that-the-function-h-x-defined-by-h-x-x-3-x-2-1-g-x-is-a-parti

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Question Number 123982 by Ar Brandon last updated on 29/Nov/20

$$\mathrm{Consider}\mathrm{the}\mathrm{D}.\mathrm{E}\left(\mathrm{E}\right):\mathrm{x}({\mathrm{x}}^2+1){\mathrm{y}}^{\prime }-2\mathrm{y}={\mathrm{x}}^3{(\mathrm{x}-1)}^2{\mathrm{e}}^{-\mathrm{x}}$$$$\mathrm{a}\mathrm{\setminus }\mathrm{Resolve}\mathrm{the}\mathrm{DE}\mathrm{x}({\mathrm{x}}^3+1){\mathrm{y}}^{\prime }-2\mathrm{y}=0$$$$\mathrm{b}\mathrm{\setminus }\mathrm{We}\mathrm{wish}\mathrm{to}\mathrm{find}\mathrm{a}\mathrm{function}\mathrm{g}\left(\mathrm{x}\right)\mathrm{such}\mathrm{that}\mathrm{the}\mathrm{function}$$$$\mathrm{h}\left(\mathrm{x}\right)\mathrm{defined}\mathrm{by}\mathrm{h}\left(\mathrm{x}\right)=\frac{{\mathrm{x}}^3}{{\mathrm{x}}^2+1}\mathrm{g}\left(\mathrm{x}\right)$$$$\mathrm{is}\mathrm{a}\mathrm{particular}\mathrm{solution}\mathrm{of}\mathrm{the}\mathrm{equation}\left(\mathrm{E}\right)$$$$\mathrm{i}\mathrm{\setminus }\mathrm{Show}\mathrm{that}\mathrm{for}\mathrm{it}\mathrm{to}\mathrm{be}\mathrm{as}\mathrm{such},\mathrm{we}\mathrm{need}\mathrm{to}\mathrm{have}$$$${\mathrm{g}}^{\prime }\left(\mathrm{x}\right)={(\mathrm{x}-1)}^2{\mathrm{e}}^{-\mathrm{x}}$$$$\mathrm{ii}\mathrm{\setminus }\mathrm{Determine}\mathrm{the}\mathrm{real}\mathrm{numbers}\alpha ,\beta ,\mathrm{and}\gamma \mathrm{such}\mathrm{that}$$$$\mathrm{the}\mathrm{function}\mathrm{x}\to \alpha {\mathrm{x}}^2+\beta \mathrm{x}+\gamma \mathrm{is}\mathrm{a}\mathrm{primitive}\mathrm{in}\mathrm{the}\mathrm{interval}$$$$]0,+\mathrm{\infty }[\mathrm{of}\mathrm{the}\mathrm{function}\mathrm{x}\to {(\mathrm{x}-1)}^2{\mathrm{e}}^{-\mathrm{x}}$$$$\mathrm{iii}\mathrm{\setminus }\mathrm{Deduce}\mathrm{a}\mathrm{particular}\mathrm{solution}\mathrm{of}\mathrm{the}\mathrm{equation}\left(\mathrm{E}\right)\mathrm{then}$$$$\mathrm{the}\mathrm{general}\mathrm{solution}\mathrm{of}\mathrm{the}\mathrm{equation}\left(\mathrm{E}\right)$$$$$$

Answered by mathmax by abdo last updated on 29/Nov/20

$$\mathrm{a})\mathrm{x}({\mathrm{x}}^3+1){\mathrm{y}}^{{}^{\prime }}-2\mathrm{y}=0\Rightarrow \mathrm{x}({\mathrm{x}}^3+1){\mathrm{y}}^{{}^{\prime }}=2\mathrm{y}\Rightarrow \frac{{\mathrm{y}}^{{}^{\prime }}}{\mathrm{y}}=\frac{2}{\mathrm{x}({\mathrm{x}}^3+1)}\Rightarrow$$$$\ln \mid \mathrm{y}\mid =2\int \frac{\mathrm{dx}}{\mathrm{x}({\mathrm{x}}^3+1)}+\mathrm{c}\mathrm{let}\mathrm{decompose}\mathrm{F}\left(\mathrm{x}\right)=\frac{1}{\mathrm{x}({\mathrm{x}}^3+1)}$$$$\mathrm{F}\left(\mathrm{x}\right)=\frac{1}{\mathrm{x}(\mathrm{x}+1)({\mathrm{x}}^2-\mathrm{x}+1)}=\frac{\mathrm{a}}{\mathrm{x}}+\frac{\mathrm{b}}{\mathrm{x}+1}+\frac{\mathrm{cx}+\mathrm{d}}{{\mathrm{x}}^2-\mathrm{x}+1}$$$$\mathrm{a}=1,\mathrm{b}=\frac{-1}{3}\Rightarrow \mathrm{F}\left(\mathrm{x}\right)=\frac{1}{\mathrm{x}}-\frac{1}{3(\mathrm{x}+1)}+\frac{\mathrm{cx}+\mathrm{d}}{{\mathrm{x}}^2-\mathrm{x}+1}$$$${\lim }_{\mathrm{x}\to +\mathrm{\infty }}\mathrm{xF}\left(\mathrm{x}\right)=0=1-\frac{1}{3}+\mathrm{c}=\frac{2}{3}+\mathrm{c}\Rightarrow \mathrm{c}=-\frac{2}{3}$$$$\mathrm{F}\left(1\right)=\frac{1}{2}=1-\frac{1}{6}+\mathrm{c}+\mathrm{d}=\frac{5}{6}+\mathrm{c}+\mathrm{d}\Rightarrow 1=\frac{5}{3}-\frac{4}{3}+2\mathrm{d}\Rightarrow$$$$\frac{1}{3}+2\mathrm{d}=1\Rightarrow 2\mathrm{d}=1-\frac{1}{3}=\frac{2}{3}\Rightarrow \mathrm{d}=\frac{1}{3}\Rightarrow$$$$\mathrm{F}\left(\mathrm{x}\right)=\frac{1}{\mathrm{x}}-\frac{1}{3(\mathrm{x}+1)}+\frac{-\frac{2}{3}\mathrm{x}+\frac{1}{3}}{{\mathrm{x}}^2-\mathrm{x}+1}\Rightarrow$$$$\int \mathrm{F}\left(\mathrm{x}\right)\mathrm{dx}=\ln \mid \mathrm{x}\mid -\frac{1}{3}\ln \mid \mathrm{x}+1\mid -\frac{1}{3}\int \frac{2\mathrm{x}-1}{{\mathrm{x}}^2-\mathrm{x}+1}\mathrm{dx}$$$$=\ln \left(\frac{\mid \mathrm{x}\mid }{({}^3\sqrt{\mid \mathrm{x}+1\mid }}\right)-\frac{1}{3}\ln ({\mathrm{x}}^2-\mathrm{x}+1)+\mathrm{c}$$$$\ln \mid \mathrm{y}\mid =2\ln \left(\frac{\mid \mathrm{x}\mid }{({}^3\sqrt{\mid \mathrm{x}+1\mid }}\right)-\frac{2}{3}\ln ({\mathrm{x}}^2-\mathrm{x}+1)+\mathrm{c}\Rightarrow$$$$\mathrm{y}\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{k}\times \frac{{\mathrm{x}}^2}{{(\mathrm{x}+1)}^{\frac{2}{3}}}{({\mathrm{x}}^2-\mathrm{x}+1)}^{-\frac{2}{3}}=\frac{{\mathrm{kx}}^2}{{({\mathrm{x}}^3+1)}^{\frac{2}{3}}}$$

Answered by mathmax by abdo last updated on 29/Nov/20

$$\mathrm{b})\mathrm{h}\left(\mathrm{x}\right)=\frac{{\mathrm{x}}^3}{{\mathrm{x}}^2+1}\mathrm{g}\left(\mathrm{x}\right)\Rightarrow {\mathrm{h}}^{{}^{\prime }}=\frac{{3\mathrm{x}}^2({\mathrm{x}}^2+1)-{\mathrm{x}}^3\left(2\mathrm{x}\right)}{{({\mathrm{x}}^2+1)}^2}\mathrm{g}$$$$+\frac{{\mathrm{x}}^3}{{\mathrm{x}}^2+1}{\mathrm{g}}^{{}^{\prime }}=\frac{{3\mathrm{x}}^4+{3\mathrm{x}}^2-{2\mathrm{x}}^4}{{({\mathrm{x}}^2+1)}^2}\mathrm{g}+\frac{{\mathrm{x}}^3}{{\mathrm{x}}^2+1}{\mathrm{g}}^{{}^{\prime }}$$$$=\frac{{\mathrm{x}}^4+{3\mathrm{x}}^2}{{({\mathrm{x}}^2+1)}^2}\mathrm{g}+\frac{{\mathrm{x}}^3}{{\mathrm{x}}^2+1}{\mathrm{g}}^{{}^{\prime }}\mathrm{h}\mathrm{solution}\mathrm{of}\mathrm{e}\Rightarrow$$$$\mathrm{x}({\mathrm{x}}^2+1)(\frac{{\mathrm{x}}^4+{3\mathrm{x}}^2}{{({\mathrm{x}}^2+1)}^2}\mathrm{g}+\frac{{\mathrm{x}}^3}{{\mathrm{x}}^2+1}{\mathrm{g}}^{{}^{\prime }})-\frac{{2\mathrm{x}}^3}{{\mathrm{x}}^2+1}\mathrm{g}={\mathrm{x}}^3(\mathrm{x}-1){\mathrm{e}}^{-\mathrm{x}}\Rightarrow$$$$\frac{\mathrm{x}({\mathrm{x}}^4+{3\mathrm{x}}^2)}{{\mathrm{x}}^2+1}\mathrm{g}+{\mathrm{x}}^4{\mathrm{g}}^{{}^{\prime }}-\frac{{2\mathrm{x}}^3}{{\mathrm{x}}^2+1}\mathrm{g}={\mathrm{x}}^3(\mathrm{x}-1){\mathrm{e}}^{-\mathrm{x}}\Rightarrow$$$$\frac{{\mathrm{x}}^5+{3\mathrm{x}}^3-{2\mathrm{x}}^3}{{\mathrm{x}}^2+1}\mathrm{g}+{\mathrm{x}}^4{\mathrm{g}}^{{}^{\prime }}={\mathrm{x}}^3{(\mathrm{x}-1)}^2{\mathrm{e}}^{-\mathrm{x}}\Rightarrow$$$${\mathrm{x}}^3\mathrm{g}+{\mathrm{x}}^4{\mathrm{g}}^{{}^{\prime }}={\mathrm{x}}^3{(\mathrm{x}-1)}^2{\mathrm{e}}^{-\mathrm{x}}\Rightarrow \mathrm{g}+{\mathrm{xg}}^{{}^{\prime }}={(\mathrm{x}-1)}^2{\mathrm{e}}^{-\mathrm{x}}$$$$\mathrm{h}\to {\mathrm{xg}}^{{}^{\prime }}=-\mathrm{g}\Rightarrow \frac{{\mathrm{g}}^{{}^{\prime }}}{\mathrm{g}}=-\frac{1}{\mathrm{x}}\Rightarrow \ln \mid \mathrm{g}\mid =-\ln \mid \mathrm{x}\mid +\mathrm{c}\Rightarrow \mathrm{g}=\frac{\mathrm{k}}{\mathrm{x}}$$$$\mathrm{mvc}\mathrm{method}\to {\mathrm{g}}^{{}^{\prime }}=\frac{{\mathrm{k}}^{{}^{\prime }}}{\mathrm{x}}-\frac{\mathrm{k}}{{\mathrm{x}}^2}\mathrm{and}\mathrm{e}\Rightarrow {\mathrm{k}}^{{}^{\prime }}-\frac{\mathrm{k}}{\mathrm{x}}+\frac{\mathrm{k}}{\mathrm{x}}={(\mathrm{x}-1)}^2{\mathrm{e}}^{-\mathrm{x}}\Rightarrow$$$$\Rightarrow {\mathrm{k}}^{{}^{\prime }}={(\mathrm{x}-1)}^2{\mathrm{e}}^{-\mathrm{x}}\Rightarrow \mathrm{k}=\int {(\mathrm{x}-1)}^2{\mathrm{e}}^{-\mathrm{x}}\mathrm{dx}$$$$=-{(\mathrm{x}-1)}^2{\mathrm{e}}^{-\mathrm{x}}+\int 2(\mathrm{x}-1){\mathrm{e}}^{-\mathrm{x}}\mathrm{dx}$$$$=-{(\mathrm{x}-1)}^2{\mathrm{e}}^{-\mathrm{x}}+2\{-(\mathrm{x}-1){\mathrm{e}}^{-\mathrm{x}}+\int {\mathrm{e}}^{-\mathrm{x}}\mathrm{dx}\}$$$$=-{(\mathrm{x}-1)}^2{\mathrm{e}}^{-\mathrm{x}}+2\{-{\mathrm{xe}}^{-\mathrm{x}}\}+\mathrm{c}$$$$=\{-{(\mathrm{x}-1)}^2-2\mathrm{x}\}{\mathrm{e}}^{-\mathrm{x}}+\mathrm{c}=\{-({\mathrm{x}}^2-2\mathrm{x}+1)-2\mathrm{x}\}{\mathrm{e}}^{-\mathrm{x}}+\mathrm{c}$$$$=-({\mathrm{x}}^2+1){\mathrm{e}}^{-\mathrm{x}}+\mathrm{c}\Rightarrow \mathrm{g}\left(\mathrm{x}\right)=\frac{\mathrm{c}-({\mathrm{x}}^2+1){\mathrm{e}}^{-\mathrm{x}}}{\mathrm{x}}\dots .$$$$$$

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