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Consider-the-polynomial-P-x-x-10-6x-9-11x-8-3x-2-18x-7-Calculate-P-3-2-5-

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Question Number 154959 by mathdanisur last updated on 23/Sep/21
Consider the polynomial P(x)=x^(10) -6x^9 -11x^8 +3x^2 -18x-7 Calculate: P(3+2(√5))
$$\mathrm{Consider}\:\mathrm{the}\:\mathrm{polynomial} \\ $$$$\mathrm{P}\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{x}^{\mathrm{10}} -\mathrm{6x}^{\mathrm{9}} -\mathrm{11x}^{\mathrm{8}} +\mathrm{3x}^{\mathrm{2}} -\mathrm{18x}-\mathrm{7} \\ $$$$\mathrm{Calculate}:\:\:\mathrm{P}\left(\mathrm{3}+\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{5}}\right) \\ $$
Commented by prakash jain last updated on 23/Sep/21
x^(10) −6x^9 −11x^8 +3x^2 −18x−7 =x^8 (x^2 −6x−11)+3x^2 −18x−7 =x^8 [(x−3)^2 −20]+3x^2 −18x+27−34 =x^8 (0)+3(x−3)^2 −34 =3×20−34 =26
$${x}^{\mathrm{10}} −\mathrm{6}{x}^{\mathrm{9}} −\mathrm{11}{x}^{\mathrm{8}} +\mathrm{3}{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{18}{x}−\mathrm{7} \\ $$$$={x}^{\mathrm{8}} \left({x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{6}{x}−\mathrm{11}\right)+\mathrm{3}{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{18}{x}−\mathrm{7} \\ $$$$={x}^{\mathrm{8}} \left[\left({x}−\mathrm{3}\right)^{\mathrm{2}} −\mathrm{20}\right]+\mathrm{3}{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{18}{x}+\mathrm{27}−\mathrm{34} \\ $$$$={x}^{\mathrm{8}} \left(\mathrm{0}\right)+\mathrm{3}\left({x}−\mathrm{3}\right)^{\mathrm{2}} −\mathrm{34} \\ $$$$=\mathrm{3}×\mathrm{20}−\mathrm{34} \\ $$$$=\mathrm{26} \\ $$
Commented by mathdanisur last updated on 23/Sep/21
Thankyou Ser, very nice
$$\mathrm{Thankyou}\:\boldsymbol{\mathrm{S}}\mathrm{er},\:\mathrm{very}\:\mathrm{nice} \\ $$
Answered by Rasheed.Sindhi last updated on 23/Sep/21
P(x)=x^(10) -6x^9 -11x^8 +3x^2 -18x-7;P(3+2(√5) )=? =x^(10) -6x^9 -11x^8 +3x^2 -18x-33+26 =x^8 (x^2 −6x−11)+3(x^2 −6x−11)+26 =(x^2 −6x−11_(P_1 (x)) )(x^8 +3)+26 P(x)=P_1 (x).(x^8 +3)+26 P_1 (x)=(3+2(√5))^2 −6(3+2(√5))−11 =9+20+12(√5) −18−12(√5) −11=0 P(3+2(√5) )=(0)((3+2(√5))^8 +3)+26=26 P(3+2(√5) )=26
$$\mathrm{P}\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{x}^{\mathrm{10}} -\mathrm{6x}^{\mathrm{9}} -\mathrm{11x}^{\mathrm{8}} +\mathrm{3x}^{\mathrm{2}} -\mathrm{18x}-\mathrm{7};\mathrm{P}\left(\mathrm{3}+\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{5}}\:\right)=? \\ $$$$\:\:\:=\mathrm{x}^{\mathrm{10}} -\mathrm{6x}^{\mathrm{9}} -\mathrm{11x}^{\mathrm{8}} +\mathrm{3x}^{\mathrm{2}} -\mathrm{18x}-\mathrm{33}+\mathrm{26} \\ $$$$\:\:=\mathrm{x}^{\mathrm{8}} \left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{6x}−\mathrm{11}\right)+\mathrm{3}\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{6x}−\mathrm{11}\right)+\mathrm{26} \\ $$$$\:\:=\left(\underset{\mathrm{P}_{\mathrm{1}} \left(\mathrm{x}\right)} {\underbrace{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{6x}−\mathrm{11}}}\right)\left(\mathrm{x}^{\mathrm{8}} +\mathrm{3}\right)+\mathrm{26} \\ $$$$\mathrm{P}\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{P}_{\mathrm{1}} \left(\mathrm{x}\right).\left(\mathrm{x}^{\mathrm{8}} +\mathrm{3}\right)+\mathrm{26} \\ $$$$\mathrm{P}_{\mathrm{1}} \left(\mathrm{x}\right)=\left(\mathrm{3}+\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{5}}\right)^{\mathrm{2}} −\mathrm{6}\left(\mathrm{3}+\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{5}}\right)−\mathrm{11} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:=\mathrm{9}+\mathrm{20}+\mathrm{12}\sqrt{\mathrm{5}}\:−\mathrm{18}−\mathrm{12}\sqrt{\mathrm{5}}\:−\mathrm{11}=\mathrm{0} \\ $$$$\mathrm{P}\left(\mathrm{3}+\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{5}}\:\right)=\left(\mathrm{0}\right)\left(\left(\mathrm{3}+\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{5}}\right)^{\mathrm{8}} +\mathrm{3}\right)+\mathrm{26}=\mathrm{26} \\ $$$$\mathrm{P}\left(\mathrm{3}+\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{5}}\:\right)=\mathrm{26} \\ $$$$ \\ $$
Commented by mathdanisur last updated on 23/Sep/21
Very nice solution Ser, thankyou
$$\mathrm{Very}\:\mathrm{nice}\:\mathrm{solution}\:\boldsymbol{\mathrm{S}}\mathrm{er},\:\mathrm{thankyou} \\ $$
Answered by Rasheed.Sindhi last updated on 24/Sep/21
P(x)=x^(10) -6x^9 -11x^8 +3x^2 -18x-7 P(3+2(√5))=? _(−) BY Synthetic Division •If P(x) is divided by x−k then remainder=P(k) •k is called multiplyer and here k=3+2(√5) [((3+2(√5)_(⌣) ),,),(1,,1),((−6),(3+2(√5)),(−3+2(√5))),((−11),(11),0),(0,0,0),(0,0,0),(0,0,0),(0,0,0),(0,0,0),(3,0,3),((−18),(9+6(√5)),(−9+6(√5))),((−7),(33),(26)) ] ∴P(3+2(√5))=26
$$\mathrm{P}\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{x}^{\mathrm{10}} -\mathrm{6x}^{\mathrm{9}} -\mathrm{11x}^{\mathrm{8}} +\mathrm{3x}^{\mathrm{2}} -\mathrm{18x}-\mathrm{7} \\ $$$$\underset{−} {\mathrm{P}\left(\mathrm{3}+\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{5}}\right)=?\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:} \\ $$$$\mathbb{BY}\:\mathcal{S}{ynthetic}\:\mathcal{D}{ivision} \\ $$$$\bullet{If}\:\:\mathrm{P}\left(\mathrm{x}\right)\:{is}\:{divided}\:{by}\:\mathrm{x}−\mathrm{k}\:{then} \\ $$$${remainder}=\mathrm{P}\left(\mathrm{k}\right) \\ $$$$\bullet\mathrm{k}\:{is}\:{called}\:{multiplyer}\:{and}\:{here} \\ $$$$\mathrm{k}=\mathrm{3}+\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{5}} \\ $$$$ \\ $$$$\begin{bmatrix}{\underset{\smile} {\mathrm{3}+\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{5}}}}&{}&{}\\{\mathrm{1}}&{}&{\mathrm{1}}\\{−\mathrm{6}}&{\mathrm{3}+\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{5}}}&{−\mathrm{3}+\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{5}}}\\{−\mathrm{11}}&{\mathrm{11}}&{\mathrm{0}}\\{\mathrm{0}}&{\mathrm{0}}&{\mathrm{0}}\\{\mathrm{0}}&{\mathrm{0}}&{\mathrm{0}}\\{\mathrm{0}}&{\mathrm{0}}&{\mathrm{0}}\\{\mathrm{0}}&{\mathrm{0}}&{\mathrm{0}}\\{\mathrm{0}}&{\mathrm{0}}&{\mathrm{0}}\\{\mathrm{3}}&{\mathrm{0}}&{\mathrm{3}}\\{−\mathrm{18}}&{\mathrm{9}+\mathrm{6}\sqrt{\mathrm{5}}}&{−\mathrm{9}+\mathrm{6}\sqrt{\mathrm{5}}}\\{−\mathrm{7}}&{\mathrm{33}}&{\mathrm{26}}\end{bmatrix}\:\: \\ $$$$\therefore\mathrm{P}\left(\mathrm{3}+\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{5}}\right)=\mathrm{26} \\ $$
Commented by mathdanisur last updated on 24/Sep/21
Yes Ser, cool, thank you
$$\mathrm{Yes}\:\boldsymbol{\mathrm{S}}\mathrm{er},\:\mathrm{cool},\:\mathrm{thank}\:\mathrm{you} \\ $$

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