Question Number 118436 by bramlexs22 last updated on 17/Oct/20
$$\:\:\int\:\mathrm{cos}\:^{\mathrm{4}} \left({x}\right)\:\mathrm{cos}\:^{\mathrm{4}} \left(\mathrm{2}{x}\right)\:{dx}\: \\ $$
Answered by benjo_mathlover last updated on 17/Oct/20
$$\left(\mathrm{1}\right)\:\mathrm{cos}\:^{\mathrm{4}} \left({x}\right)=\:\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{cos}\:\left(\mathrm{2}{x}\right)\right)^{\mathrm{2}} \\ $$$$\:\:=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{cos}\:\left(\mathrm{2}{x}\right)+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{cos}\:\left(\mathrm{4}{x}\right)\right) \\ $$$$\:\:=\:\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{8}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{cos}\:\left(\mathrm{2}{x}\right)+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{8}}\mathrm{cos}\:\left(\mathrm{4}{x}\right) \\ $$$$\left(\mathrm{2}\right)\:\mathrm{cos}\:^{\mathrm{4}} \left(\mathrm{2}{x}\right)=\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{cos}\:\left(\mathrm{4}{x}\right)\right)^{\mathrm{2}} \\ $$$$\:\:=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{cos}\:\left(\mathrm{4}{x}\right)+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{cos}\:\left(\mathrm{8}{x}\right)\right) \\ $$$$\:\:=\:\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{8}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{cos}\:\left(\mathrm{4}{x}\right)+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{8}}\mathrm{cos}\:\left(\mathrm{8}{x}\right) \\ $$$${Then}\:\left(\mathrm{1}\right)×\left(\mathrm{2}\right):\: \\ $$$$\:=\:\frac{\mathrm{9}}{\mathrm{64}}+\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{16}}\mathrm{cos}\:\left(\mathrm{4}{x}\right)+\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{64}}\mathrm{cos}\:\left(\mathrm{8}{x}\right)+\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{16}}\mathrm{cos}\:\left(\mathrm{2}{x}\right) \\ $$$$\:\:\:+\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{8}}\mathrm{cos}\:\left(\mathrm{6}{x}\right)+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{8}}\mathrm{cos}\:\left(\mathrm{2}{x}\right)+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{32}}\mathrm{cos}\:\left(\mathrm{10}{x}\right) \\ $$$$\:\:+\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{32}}\mathrm{cos}\:\left(\mathrm{6}{x}\right)+\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{64}}\mathrm{cos}\:\left(\mathrm{4}{x}\right)+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{32}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{32}}\mathrm{cos}\:\left(\mathrm{8}{x}\right) \\ $$$$\:\:\:+\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{128}}\mathrm{cos}\:\left(\mathrm{12}{x}\right)+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{128}}\mathrm{cos}\:\left(\mathrm{4}{x}\right)\: \\ $$
Answered by mathmax by abdo last updated on 17/Oct/20
$$\mathrm{I}\:=\int\:\mathrm{cos}^{\mathrm{4}} \mathrm{x}\:\mathrm{cos}^{\mathrm{4}} \left(\mathrm{2x}\right)\mathrm{dx}\:\Rightarrow\mathrm{I}\:=\int\left(\frac{\mathrm{1}+\mathrm{cos}\left(\mathrm{2x}\right)}{\mathrm{2}}\right)^{\mathrm{2}} \left(\frac{\mathrm{1}+\mathrm{cos}\left(\mathrm{4x}\right)}{\mathrm{2}}\right)^{\mathrm{2}} \mathrm{dx} \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{16}}\int\:\left(\mathrm{1}+\mathrm{cos}\left(\mathrm{2x}\right)\right)^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{1}+\mathrm{cos}\left(\mathrm{4x}\right)\right)^{\mathrm{2}} \mathrm{dx} \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{16}}\int\left(\mathrm{1}+\mathrm{2cos}\left(\mathrm{2x}\right)+\mathrm{cos}^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{2x}\right)\right)\left(\mathrm{1}+\mathrm{2cos}\left(\mathrm{4x}\right)+\mathrm{cos}^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{4x}\right)\right)\mathrm{dx} \\ $$$$\mathrm{16I}\:=\int\left(\mathrm{1}+\mathrm{2cos}\left(\mathrm{4x}\right)+\mathrm{cos}^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{4x}\right)+\mathrm{2cos}\left(\mathrm{2x}\right)+\mathrm{4cos}\left(\mathrm{2x}\right)\mathrm{cos}\left(\mathrm{4x}\right)\right. \\ $$$$\left.+\mathrm{2cos}\left(\mathrm{2x}\right)\mathrm{cos}^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{4x}\right)\:+\mathrm{cos}^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{2x}\right)+\mathrm{2cos}^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{2x}\right)\mathrm{cos}\left(\mathrm{4x}\right)+\mathrm{cos}^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{2x}\right)\mathrm{cos}^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{4x}\right)\right)\mathrm{dx} \\ $$$$=\mathrm{x}\:+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{sin}\left(\mathrm{4x}\right)\:+\int\:\mathrm{cos}^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{4x}\right)\mathrm{dx}\:+\mathrm{sin}\left(\mathrm{2x}\right)\:+\mathrm{4}\int\:\mathrm{cos}\left(\mathrm{2x}\right)\mathrm{cos}\left(\mathrm{4x}\right)\mathrm{dx} \\ $$$$+\mathrm{2}\int\:\mathrm{cos}\left(\mathrm{2x}\right)\mathrm{cos}^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{4x}\right)\mathrm{dx}\:+\int\:\mathrm{cos}^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{2x}\right)\mathrm{dx}\:+\mathrm{2}\int\:\mathrm{cos}^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{2x}\right)\mathrm{cos}\left(\mathrm{4x}\right)\mathrm{dx} \\ $$$$+\int\:\mathrm{cos}^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{2x}\right)\mathrm{cos}^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{4x}\right)\mathrm{dx}\:\:\mathrm{we}\:\mathrm{have} \\ $$$$\int\:\mathrm{cos}^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{4x}\right)\mathrm{dx}\:=\int\:\frac{\mathrm{1}+\mathrm{cos}\left(\mathrm{8x}\right)}{\mathrm{2}}\mathrm{dx}\:=\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{2}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{16}}\mathrm{sin}\left(\mathrm{8x}\right)+\mathrm{c}_{\mathrm{0}} \\ $$$$\int\:\mathrm{cos}\left(\mathrm{2x}\right)\mathrm{cos}\left(\mathrm{4x}\right)\mathrm{dx}\:=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\int\left(\mathrm{cos}\left(\mathrm{6x}\right)+\mathrm{cos}\left(\mathrm{2x}\right)\right)\mathrm{dx} \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{12}}\mathrm{sin}\left(\mathrm{6x}\right)\:+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}\mathrm{sin}\left(\mathrm{2x}\right)\:+\mathrm{c}_{\mathrm{1}} \\ $$$$\int\:\mathrm{cos}\left(\mathrm{2x}\right)\mathrm{cos}^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{4x}\right)\mathrm{dx}\:=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\int\mathrm{cos}\left(\mathrm{2x}\right)\left(\mathrm{1}+\mathrm{cos}\left(\mathrm{8x}\right)\right)\mathrm{dx} \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}\mathrm{sin}\left(\mathrm{2x}\right)+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\int\:\mathrm{cos}\left(\mathrm{2x}\right)\mathrm{cos}\left(\mathrm{8x}\right)\mathrm{dx} \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}\mathrm{sin}\left(\mathrm{2x}\right)+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}\int\left(\mathrm{cos}\left(\mathrm{10x}\right)+\mathrm{cos}\left(\mathrm{6x}\right)\right)\mathrm{dx} \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}\mathrm{sin}\left(\mathrm{2x}\right)+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{40}}\mathrm{sin}\left(\mathrm{10x}\right)+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{24}}\mathrm{sin}\left(\mathrm{6x}\right)\:+\mathrm{c}_{\mathrm{2}} \\ $$$$\int\:\mathrm{cos}^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{2x}\right)\mathrm{dx}\:=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\int\left(\mathrm{1}+\mathrm{cos}\left(\mathrm{4x}\right)\right)\mathrm{dx}\:=\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{2}}\:+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{8}}\mathrm{sin}\left(\mathrm{4x}\right)+\mathrm{c}_{\mathrm{3}} \\ $$$$\int\:\mathrm{cos}^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{2x}\right)\mathrm{cos}\left(\mathrm{4x}\right)\mathrm{dx}\:=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\int\left(\mathrm{1}+\mathrm{cos}\left(\mathrm{4x}\right)\right)\mathrm{cos4xdx} \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\int\mathrm{cos}\left(\mathrm{4x}\right)\mathrm{dx}\:+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}\int\:\left(\mathrm{1}+\mathrm{cos}\left(\mathrm{8x}\right)\right)\mathrm{dx} \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{8}}\mathrm{sin}\left(\mathrm{4x}\right)+\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{4}}\:+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{32}}\mathrm{sin}\left(\mathrm{8x}\right)\:+\mathrm{c}_{\mathrm{4}} \:\:\:\mathrm{also} \\ $$$$\int\:\mathrm{cos}^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{2x}\right)\mathrm{cos}^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{4x}\right)\mathrm{dx}\:=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}\int\left(\mathrm{1}+\mathrm{cos}\left(\mathrm{4x}\right)\right)\left(\mathrm{1}+\mathrm{cos}\left(\mathrm{8x}\right)\right)\mathrm{dx} \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}\int\left(\mathrm{1}+\mathrm{cos}\left(\mathrm{8x}\right)+\mathrm{cos}\left(\mathrm{4x}\right)+\mathrm{cos}\left(\mathrm{4x}\right)\mathrm{cos}\left(\mathrm{8x}\right)\right)\mathrm{dx} \\ $$$$\left.=\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{4}}\:+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{32}}\mathrm{sin}\left(\mathrm{8x}\right)+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{16}}\mathrm{sin}\left(\mathrm{4x}\right)\:+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{8}}\int\mathrm{cos}\left(\mathrm{12x}\right)+\mathrm{cos}\left(\mathrm{4x}\right)\right)\mathrm{dx} \\ $$$$=\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{4}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{32}}\mathrm{sin}\left(\mathrm{8x}\right)+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{16}}\mathrm{sin}\left(\mathrm{4x}\right)+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{8}.\mathrm{12}}\mathrm{sin}\left(\mathrm{12x}\right)+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{32}}\mathrm{sin}\left(\mathrm{4x}\right) \\ $$$$\mathrm{rest}\:\mathrm{to}\:\mathrm{collect}\:\mathrm{the}\:\mathrm{integrals}.. \\ $$$$ \\ $$
Answered by MJS_new last updated on 17/Oct/20
$$\int\mathrm{cos}^{\mathrm{4}} \:{x}\:\mathrm{cos}^{\mathrm{4}} \:\mathrm{2}{x}\:{dx}= \\ $$$$\:\:\:\:\:\left[{t}=\mathrm{tan}\:{x}\:\rightarrow\:{dx}=\mathrm{cos}^{\mathrm{2}} \:{x}\:{dt}\right] \\ $$$$=\int\frac{\left({t}−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{4}} \left({t}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{4}} }{\left({t}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}\right)^{\mathrm{7}} }{dt}= \\ $$$$\:\:\:\:\:\left[\mathrm{Ostrogradski}'\mathrm{s}\:\mathrm{Method}\right] \\ $$$$=\frac{{t}\left(\mathrm{165}{t}^{\mathrm{10}} +\mathrm{935}{t}^{\mathrm{8}} +\mathrm{1986}{t}^{\mathrm{6}} +\mathrm{3006}{t}^{\mathrm{4}} +\mathrm{1305}{t}^{\mathrm{2}} +\mathrm{795}\right)}{\mathrm{960}\left({t}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}\right)^{\mathrm{6}} }+ \\ $$$$\:\:\:\:\:+\frac{\mathrm{11}}{\mathrm{64}}\int\frac{{dt}}{{t}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}}\:\left[\mathrm{which}\:=\:\frac{\mathrm{11}}{\mathrm{64}}\mathrm{arctan}\:{t}\right]\: \\ $$$$\mathrm{now}\:\mathrm{put}\:{t}=\mathrm{tan}\:{x} \\ $$
Answered by 1549442205PVT last updated on 17/Oct/20
$$\mathrm{cos}^{\mathrm{4}} \mathrm{x}=\left(\frac{\mathrm{1}+\mathrm{cos2x}}{\mathrm{2}}\right)^{\mathrm{2}} =\frac{\mathrm{1}+\mathrm{2cos2x}+\mathrm{cos}^{\mathrm{2}} \mathrm{2x}}{\mathrm{4}} \\ $$$$\mathrm{Put}\:\mathrm{F}=\int\mathrm{cos}\:^{\mathrm{4}} \left({x}\right)\:\mathrm{cos}\:^{\mathrm{4}} \left(\mathrm{2}{x}\right)\mathrm{dx}\Rightarrow\mathrm{4F}= \\ $$$$\int\mathrm{cos}^{\mathrm{4}} \mathrm{2xdx}+\mathrm{2}\int\mathrm{cos}^{\mathrm{4}} \mathrm{2xcos2xdx}+\int\mathrm{cos}^{\mathrm{6}} \mathrm{2xdx} \\ $$$$\mathrm{cos}^{\mathrm{4}} \mathrm{2x}=\left(\frac{\mathrm{1}+\mathrm{cos4x}}{\mathrm{2}}\right)^{\mathrm{2}} =\frac{\mathrm{1}+\mathrm{2cos4x}+\mathrm{cos}^{\mathrm{2}} \mathrm{4x}}{\mathrm{4}} \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}\left(\mathrm{1}+\mathrm{2cos4x}+\frac{\mathrm{1}+\mathrm{cos8x}}{\mathrm{2}}\right)\left(\mathrm{1}\right) \\ $$$$=\left(\mathrm{1}−\mathrm{sin}^{\mathrm{2}} \mathrm{2x}\right)^{\mathrm{2}} =\mathrm{1}−\mathrm{2sin}^{\mathrm{2}} \mathrm{2x}+\mathrm{sin}^{\mathrm{4}} \mathrm{2x}\left(\mathrm{2}\right) \\ $$$$\left.\mathrm{cos}^{\mathrm{6}} \mathrm{2x}=\frac{\mathrm{1}+\mathrm{cos4x}}{\mathrm{2}}\right)^{\mathrm{3}} =\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{8}}\left(\mathrm{1}+\mathrm{3cos4x}\right. \\ $$$$\left.+\mathrm{3cos}^{\mathrm{2}} \mathrm{4x}+\mathrm{cos}^{\mathrm{3}} \mathrm{4x}\right) \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{8}}+\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{8}}\mathrm{cos4x}+\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{16}}\left(\mathrm{1}+\mathrm{cos8x}\right)+\left(\mathrm{1}−\mathrm{sin}^{\mathrm{2}} \mathrm{4x}\right)\mathrm{cos4x} \\ $$$$=\frac{\mathrm{5}}{\mathrm{16}}+\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{8}}\mathrm{cos4x}+\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{16}}\mathrm{cos8x}+\left(\mathrm{1}−\mathrm{2sin}^{\mathrm{2}} \mathrm{4x}+\mathrm{sin}^{\mathrm{4}} \mathrm{4x}\right)\mathrm{cos4x}\left(\mathrm{3}\right) \\ $$$$\mathrm{From}\left(\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{2}\right)\left(\mathrm{3}\right)\mathrm{we}\:\mathrm{get} \\ $$$$\mathrm{4F}=\int\frac{\mathrm{11}}{\mathrm{16}}\mathrm{dx}+\frac{\mathrm{7}}{\mathrm{8}}\int\mathrm{cos4xdx}+\frac{\mathrm{5}}{\mathrm{16}}\int\mathrm{cos8xdx} \\ $$$$+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}\int\left(\mathrm{1}−\mathrm{sin}^{\mathrm{2}} \mathrm{4x}\right)\mathrm{d}\left(\mathrm{sin4x}\right) \\ $$$$+\int\left(\mathrm{1}−\mathrm{2sin}^{\mathrm{2}} \mathrm{2x}+\mathrm{sin}^{\mathrm{4}} \mathrm{2x}\right)\mathrm{d}\left(\mathrm{sin2x}\right) \\ $$$$=\frac{\mathrm{11}}{\mathrm{16}}\mathrm{x}+\frac{\mathrm{7}}{\mathrm{32}}\mathrm{sin4x}+\frac{\mathrm{5}}{\mathrm{128}}\mathrm{sin8x}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}\mathrm{sin4x} \\ $$$$−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{12}}\mathrm{sin}^{\mathrm{3}} \mathrm{4x}+\mathrm{sin2x}−\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{3}}\mathrm{sin}^{\mathrm{3}} \mathrm{2x}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{5}}\mathrm{sin}^{\mathrm{5}} \mathrm{2x} \\ $$$$\mathrm{F}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}\left(\frac{\mathrm{11}}{\mathrm{16}}\mathrm{x}+\frac{\mathrm{7}}{\mathrm{32}}\mathrm{sin4x}+\frac{\mathrm{5}}{\mathrm{128}}\mathrm{sin8x}\right. \\ $$$$−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{12}}\mathrm{sin}^{\mathrm{3}} \mathrm{4x}+\mathrm{sin2x}−\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{3}}\mathrm{sin}^{\mathrm{3}} \mathrm{2x} \\ $$$$\left.+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{5}}\mathrm{sin}^{\mathrm{5}} \mathrm{2x}\right)+\mathrm{C} \\ $$