Question Number 146597 by iloveisrael last updated on 14/Jul/21
$$\:\:\:\:\int\:\frac{\mathrm{cos}\:\mathrm{5x}+\mathrm{cos}\:\mathrm{4x}}{\mathrm{1}−\mathrm{2cos}\:\mathrm{3x}}\:\mathrm{dx}\:=?\: \\ $$$$\:\:\int\:\frac{\sqrt{\mathrm{tan}\:\mathrm{x}}}{\mathrm{sin}\:\mathrm{2x}}\:\mathrm{dx}\:=? \\ $$$$\:\:\int\:\frac{\mathrm{dx}}{\:\sqrt{\mathrm{cos}\:^{\mathrm{3}} \mathrm{x}\:\mathrm{sin}\:^{\mathrm{5}} \mathrm{x}}}\:=? \\ $$
Answered by gsk2684 last updated on 14/Jul/21
$$\int\frac{\mathrm{cos}\:\mathrm{5}{x}+\mathrm{cos}\:\mathrm{4}{x}}{\mathrm{1}−\mathrm{2cos}\:\mathrm{3}{x}}{dx} \\ $$$$\int\:\frac{\mathrm{2cos}\:\frac{\mathrm{5}{x}+\mathrm{4}{x}}{\mathrm{2}}\mathrm{cos}\:\frac{\mathrm{5}{x}−\mathrm{4}{x}}{\mathrm{2}}}{\mathrm{1}−\mathrm{2}\left(\mathrm{2cos}\:^{\mathrm{2}} \frac{\mathrm{3}{x}}{\mathrm{2}}−\mathrm{1}\right)}\:{dx} \\ $$$$\mathrm{2}\int\frac{\mathrm{cos}\:\mathrm{3}\left(\frac{\mathrm{3}{x}}{\mathrm{2}}\right)\mathrm{cos}\:\frac{{x}}{\mathrm{2}}}{\mathrm{1}−\mathrm{4cos}\:^{\mathrm{2}} \frac{\mathrm{3}{x}}{\mathrm{2}}+\mathrm{2}}{dx} \\ $$$$\mathrm{2}\int\frac{\left[\mathrm{4cos}\:^{\mathrm{3}} \left(\frac{\mathrm{3}{x}}{\mathrm{2}}\right)−\mathrm{3cos}\left(\frac{\mathrm{3}{x}}{\mathrm{2}}\right)\right]\:\mathrm{cos}\:\frac{{x}}{\mathrm{2}}}{\mathrm{3}−\mathrm{4cos}\:^{\mathrm{2}} \frac{\mathrm{3}{x}}{\mathrm{2}}}{dx} \\ $$$$\mathrm{2}\int\frac{\left[\mathrm{4cos}\:^{\mathrm{2}} \left(\frac{\mathrm{3}{x}}{\mathrm{2}}\right)−\mathrm{3}\right]\mathrm{cos}\:\frac{\mathrm{3}{x}}{\mathrm{2}}\:\mathrm{cos}\:\frac{{x}}{\mathrm{2}}}{\mathrm{3}−\mathrm{4cos}\:^{\mathrm{2}} \frac{\mathrm{3}{x}}{\mathrm{2}}}{dx} \\ $$$$−\int\mathrm{2cos}\:\frac{\mathrm{3}{x}}{\mathrm{2}}\mathrm{cos}\:\frac{{x}}{\mathrm{2}}{dx} \\ $$$$−\int\left(\mathrm{cos}\:\left(\frac{\mathrm{3}{x}}{\mathrm{2}}+\frac{{x}}{\mathrm{2}}\right)+\mathrm{cos}\:\left(\frac{\mathrm{3}{x}}{\mathrm{2}}−\frac{{x}}{\mathrm{2}}\right)\right){dx} \\ $$$$−\int\left(\mathrm{cos}\:\mathrm{2}{x}+\mathrm{cos}\:{x}\right){dx} \\ $$$$−\left(\frac{\mathrm{sin}\:\mathrm{2}{x}}{\mathrm{2}}+\mathrm{sin}\:{x}\right)+{c} \\ $$
Answered by gsk2684 last updated on 14/Jul/21
$$\int\frac{{dx}}{\:\sqrt{\mathrm{cos}\:^{\mathrm{3}} {x}\:\mathrm{sin}\:^{\mathrm{5}} {x}}}{dx} \\ $$$$\int\frac{\mathrm{1}}{\:\mathrm{cos}\:^{\mathrm{4}} {x}\sqrt{\frac{\mathrm{cos}\:^{\mathrm{3}} {x}\:\mathrm{sin}\:^{\mathrm{5}} {x}}{\mathrm{cos}\:^{\mathrm{8}} {x}}}}{dx} \\ $$$$\int\frac{\mathrm{sec}\:^{\mathrm{2}} {x}}{\:\sqrt{\mathrm{tan}\:^{\mathrm{5}} {x}}}\mathrm{sec}\:^{\mathrm{2}} {xdx} \\ $$$$\int\:\frac{\mathrm{1}+\mathrm{tan}\:^{\mathrm{2}} {x}}{\:\sqrt{\mathrm{tan}\:^{\mathrm{5}} {x}}}\:\:{d}\left(\mathrm{tan}\:{x}\right) \\ $$$$\int\left(\mathrm{tan}\:^{−\frac{\mathrm{5}}{\mathrm{2}}} {x}+\frac{\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{tan}\:{x}}}\right){d}\left(\mathrm{tan}\:{x}\right) \\ $$$$\frac{\mathrm{tan}\:^{−\frac{\mathrm{5}}{\mathrm{2}}+\mathrm{1}} {x}}{−\frac{\mathrm{5}}{\mathrm{2}}+\mathrm{1}}+\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{tan}\:{x}}+{c} \\ $$
Answered by gsk2684 last updated on 14/Jul/21
$$\int\frac{\sqrt{\mathrm{tan}\:{x}}}{\mathrm{sin}\:\mathrm{2}{x}}{dx} \\ $$$$\int\frac{\sqrt{\mathrm{tan}\:{x}}}{\left(\frac{\mathrm{2tan}\:{x}}{\mathrm{1}+\mathrm{tan}\:^{\mathrm{2}} {x}}\right)}\:{dx} \\ $$$$=\int\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{tan}\:{x}}}\mathrm{sec}\:^{\mathrm{2}} {x}\:{dx} \\ $$$$=\int\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{tan}\:{x}}}\:{d}\left(\mathrm{tan}\:{x}\right) \\ $$$$=\sqrt{\mathrm{tan}\:{x}}+{c} \\ $$
Answered by puissant last updated on 14/Jul/21
$$\left.\mathrm{2}\right) \\ $$$$\int\frac{\sqrt{\mathrm{tan}\:\mathrm{x}}}{\mathrm{sin}\:\mathrm{2x}}\mathrm{dx}=\mathrm{K} \\ $$$$\mathrm{u}=\sqrt{\mathrm{tan}\:\mathrm{x}\:}\Rightarrow\mathrm{u}^{\mathrm{2}} =\mathrm{tan}\:\mathrm{x}\:\:\:\mathrm{2udu}=\frac{\mathrm{dx}}{\mathrm{cos}^{\mathrm{2}} \:\mathrm{x}} \\ $$$$\Rightarrow\:\mathrm{dx}=\mathrm{2ucos}^{\mathrm{2}} \:\mathrm{x}\:\mathrm{dx} \\ $$$$\mathrm{K}=\int\frac{\mathrm{u}}{\mathrm{2sin}\:\mathrm{x}\:\mathrm{cos}\:\mathrm{x}}×\mathrm{2ucos}^{\mathrm{2}} \:\mathrm{x}\:\mathrm{du} \\ $$$$=\int\frac{\mathrm{u}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{tan}\:\mathrm{x}}\mathrm{du}=\int\frac{\mathrm{u}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{u}^{\mathrm{2}} }\mathrm{du}=\:\mathrm{u}+\mathrm{c} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{K}=\sqrt{\mathrm{tan}\:\mathrm{x}}+\mathrm{c}.. \\ $$
Answered by mathmax by abdo last updated on 14/Jul/21
$$\mathrm{I}=\int\:\frac{\sqrt{\mathrm{tanx}}}{\mathrm{sin}\left(\mathrm{2x}\right)}\mathrm{dx}\:\mathrm{changement}\:\mathrm{tanx}=\mathrm{t}\:\mathrm{give} \\ $$$$\mathrm{I}=\int\:\:\frac{\sqrt{\mathrm{t}}}{\frac{\mathrm{2t}}{\mathrm{1}+\mathrm{t}^{\mathrm{2}} }}\frac{\mathrm{dt}}{\mathrm{1}+\mathrm{t}^{\mathrm{2}} }\:=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\int\:\frac{\mathrm{dt}}{\:\sqrt{\mathrm{t}}}=\sqrt{\mathrm{t}}+\mathrm{C}\:=\sqrt{\mathrm{tanx}}\:+\mathrm{C} \\ $$