Question Number 128285 by john_santu last updated on 06/Jan/21
$$\:\mathrm{cos}\:\left(\frac{\pi}{\mathrm{7}}\right)−\mathrm{cos}\:\left(\frac{\mathrm{2}\pi}{\mathrm{7}}\right)+\mathrm{cos}\:\left(\frac{\mathrm{3}\pi}{\mathrm{7}}\right)\:=? \\ $$
Answered by liberty last updated on 06/Jan/21
$$\:\mathrm{let}\:\varphi\:=\:\mathrm{cos}\:\left(\frac{\pi}{\mathrm{7}}\right)−\mathrm{cos}\:\left(\frac{\mathrm{2}\pi}{\mathrm{7}}\right)+\mathrm{cos}\:\left(\frac{\mathrm{3}\pi}{\mathrm{7}}\right) \\ $$$$\:\varphi\:=\:\mathrm{cos}\:\left(\frac{\pi}{\mathrm{7}}\right)+\mathrm{cos}\:\left(\frac{\mathrm{3}\pi}{\mathrm{7}}\right)+\mathrm{cos}\:\left(\frac{\mathrm{5}\pi}{\mathrm{7}}\right) \\ $$$$\:\Rightarrow\mathrm{2}\varphi\mathrm{sin}\:\mathrm{t}\:=\:\mathrm{2sin}\:\mathrm{t}\:\mathrm{cos}\:\mathrm{t}\:+\:\mathrm{2sin}\:\mathrm{t}\:\mathrm{cos}\:\mathrm{3t}+\mathrm{2sin}\:\mathrm{tcos}\:\mathrm{5t} \\ $$$$\:\mathrm{where}\:\mathrm{t}\:=\:\frac{\pi}{\mathrm{7}} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{2}\varphi\mathrm{sin}\:\mathrm{t}\:=\:\mathrm{sin}\:\mathrm{2t}\:+\:\mathrm{sin}\:\mathrm{4t}−\mathrm{sin}\:\mathrm{2t}+\mathrm{sin}\:\mathrm{6t}−\mathrm{sin}\:\mathrm{4t} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{2}\varphi\mathrm{sin}\:\mathrm{t}\:=\:\mathrm{sin}\:\mathrm{6t}\: \\ $$$$\Rightarrow\varphi\:=\:\frac{\mathrm{sin}\:\left(\frac{\mathrm{6}\pi}{\mathrm{7}}\right)}{\mathrm{2}\:\mathrm{sin}\:\left(\frac{\pi}{\mathrm{7}}\right)}\:=\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}} \\ $$