Question Number 146722 by SOMEDAVONG last updated on 15/Jul/21
$$\mathrm{D}=\underset{\mathrm{n}\rightarrow+\propto} {\mathrm{lim}}\frac{\mathrm{n}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{n}−\mathrm{1}}\left[\frac{\mathrm{sin}\frac{\mathrm{88}}{\mathrm{n}}}{\mathrm{1}+\mathrm{2}}\:+\:\frac{\mathrm{sin}\frac{\mathrm{88}}{\mathrm{n}}}{\mathrm{1}+\mathrm{2}+\mathrm{3}}\:+\:…+\:\frac{\mathrm{sin}\frac{\mathrm{88}}{\mathrm{n}}}{\mathrm{1}+\mathrm{2}+\mathrm{3}+…+\mathrm{n}}\right] \\ $$
Answered by Olaf_Thorendsen last updated on 15/Jul/21
$$\mathrm{S}_{{n}} \:=\:\frac{{n}^{\mathrm{2}} }{{n}−\mathrm{1}}\left[\underset{{k}=\mathrm{2}} {\overset{{n}} {\sum}}\frac{\mathrm{sin}\frac{\mathrm{88}}{{n}}}{\underset{{p}=\mathrm{1}} {\overset{{k}} {\sum}}{p}}\right] \\ $$$$\mathrm{S}_{{n}} \:=\:\frac{{n}^{\mathrm{2}} }{{n}−\mathrm{1}}\left[\underset{{k}=\mathrm{2}} {\overset{{n}} {\sum}}\frac{\mathrm{sin}\frac{\mathrm{88}}{{n}}}{\frac{{k}\left({k}+\mathrm{1}\right)}{\mathrm{2}}}\right] \\ $$$$\mathrm{S}_{{n}} \:=\:\frac{{n}^{\mathrm{2}} }{{n}−\mathrm{1}}\mathrm{sin}\frac{\mathrm{88}}{{n}}\left(\underset{{k}=\mathrm{2}} {\overset{{n}} {\sum}}\frac{\mathrm{2}}{{k}\left({k}+\mathrm{1}\right)}\right) \\ $$$$\mathrm{S}_{{n}} \:=\:\frac{\mathrm{2}{n}^{\mathrm{2}} }{{n}−\mathrm{1}}\mathrm{sin}\frac{\mathrm{88}}{{n}}\left(\underset{{k}=\mathrm{2}} {\overset{{n}} {\sum}}\frac{\mathrm{1}}{{k}}−\frac{\mathrm{1}}{{k}+\mathrm{1}}\right) \\ $$$$\mathrm{S}_{{n}} \:=\:\frac{\mathrm{2}{n}^{\mathrm{2}} }{{n}−\mathrm{1}}\mathrm{sin}\frac{\mathrm{88}}{{n}}\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}−\frac{\mathrm{1}}{{n}+\mathrm{1}}\right) \\ $$$$\mathrm{S}_{{n}} \:=\:\frac{\mathrm{2}{n}^{\mathrm{2}} }{{n}−\mathrm{1}}\mathrm{sin}\frac{\mathrm{88}}{{n}}\left(\frac{{n}−\mathrm{1}}{\mathrm{2}\left({n}+\mathrm{1}\right)}\right) \\ $$$$\mathrm{S}_{{n}} \:=\:\frac{{n}^{\mathrm{2}} }{{n}+\mathrm{1}}\mathrm{sin}\frac{\mathrm{88}}{{n}} \\ $$$$\mathrm{S}_{{n}} \:\underset{\infty} {\sim}\:\frac{{n}^{\mathrm{2}} }{{n}+\mathrm{1}}×\frac{\mathrm{88}}{{n}}\:=\:\frac{\mathrm{88}{n}}{{n}+\mathrm{1}}\:\underset{\infty} {\rightarrow}\:\mathrm{88} \\ $$