Question Number 88032 by mathmax by abdo last updated on 07/Apr/20
$${decompose}\:{inside}\:{R}\left({x}\right)\:{the}\:{fraction} \\ $$$$\left.\mathrm{1}\right)\:{F}\left({x}\right)\:=\frac{\mathrm{1}}{{x}^{\mathrm{3}} \left({x}−\mathrm{2}\right)^{\mathrm{3}} } \\ $$$$\left.\mathrm{2}\right)\:{F}\left({x}\right)\:=\frac{\mathrm{1}}{\left({x}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{4}} \left({x}−\mathrm{3}\right)^{\mathrm{4}} } \\ $$
Commented by jagoll last updated on 08/Apr/20
$$\mathrm{what}\:\mathrm{is}\:\mathrm{R}\left(\mathrm{x}\right)?\:\mathrm{remainder}? \\ $$
Commented by abdomathmax last updated on 10/Apr/20
$${space}\:{of}\:{rational}\:{fractions} \\ $$
Commented by abdomathmax last updated on 10/Apr/20
$$\left.\mathrm{1}\right){F}\left({x}\right)\:=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{8}}\frac{\left({x}−\left({x}−\mathrm{2}\right)\right)^{\mathrm{3}} }{{x}^{\mathrm{3}} \left({x}−\mathrm{2}\right)^{\mathrm{3}} }\:\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{8}{F}\left({x}\right)?=\frac{{x}^{\mathrm{3}} \:−\mathrm{3}{x}^{\mathrm{2}} \left({x}−\mathrm{2}\right)\:+\mathrm{3}{x}\left({x}−\mathrm{2}\right)^{\mathrm{2}} \:−\left({x}−\mathrm{2}\right)^{\mathrm{3}} }{{x}^{\mathrm{3}} \left({x}−\mathrm{2}\right)^{\mathrm{3}} } \\ $$$$=\frac{{x}^{\mathrm{3}} \:+\mathrm{3}{x}\left({x}−\mathrm{2}\right)\left(−{x}+{x}−\mathrm{2}\right)\:−\left({x}−\mathrm{2}\right)^{\mathrm{3}} }{{x}^{\mathrm{3}} \left({x}−\mathrm{2}\right)^{\mathrm{3}} } \\ $$$$=\frac{{x}^{\mathrm{3}} \:−\mathrm{6}{x}\left({x}−\mathrm{2}\right)−\left({x}−\mathrm{2}\right)^{\mathrm{3}} }{{x}^{\mathrm{3}} \left({x}−\mathrm{2}\right)^{\mathrm{3}} } \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\left({x}−\mathrm{2}\right)^{\mathrm{3}} }\:−\frac{\mathrm{6}}{{x}^{\mathrm{2}} \left({x}−\mathrm{2}\right)^{\mathrm{2}} }−\frac{\mathrm{1}}{{x}^{\mathrm{3}} } \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\left({x}−\mathrm{2}\right)^{\mathrm{3}} }−\frac{\mathrm{1}}{{x}^{\mathrm{3}} }\:−\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{2}}\left\{\frac{\left({x}−\left({x}−\mathrm{2}\right)\right)^{\mathrm{2}} }{{x}^{\mathrm{2}} \left({x}−\mathrm{2}\right)^{\mathrm{2}} }\right\} \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\left({x}−\mathrm{2}\right)^{\mathrm{3}} }−\frac{\mathrm{1}}{{x}^{\mathrm{3}} }−\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{2}}\left\{\:\frac{{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2}{x}\left({x}−\mathrm{2}\right)\:+\left({x}−\mathrm{2}\right)^{\mathrm{2}} }{{x}^{\mathrm{2}} \left({x}−\mathrm{2}\right)^{\mathrm{2}} }\right\} \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\left({x}−\mathrm{2}\right)^{\mathrm{3}} }−\frac{\mathrm{1}}{{x}^{\mathrm{3}} }−\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{2}\left({x}−\mathrm{2}\right)^{\mathrm{2}} }\:+\frac{\mathrm{6}}{{x}\left({x}−\mathrm{2}\right)}\:+\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{2}{x}^{\mathrm{2}} } \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\left({x}−\mathrm{2}\right)^{\mathrm{3}} }−\frac{\mathrm{1}}{{x}^{\mathrm{3}} }−\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{2}\left({x}−\mathrm{2}\right)^{\mathrm{2}} }\:−\mathrm{3}\left(\frac{\mathrm{1}}{{x}}−\frac{\mathrm{1}}{{x}−\mathrm{2}}\right)\:+\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{2}{x}^{\mathrm{2}} } \\ $$$$=−\frac{\mathrm{3}}{{x}}\:+\frac{\mathrm{3}}{{x}−\mathrm{2}}\:+\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{2}{x}^{\mathrm{2}} }−\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{2}\left({x}−\mathrm{2}\right)^{\mathrm{2}} }−\frac{\mathrm{1}}{{x}^{\mathrm{3}} }\:+\frac{\mathrm{1}}{\left({x}−\mathrm{2}\right)^{\mathrm{3}} }\:=\mathrm{8}{F}\left({x}\right) \\ $$$$ \\ $$$$ \\ $$$$ \\ $$
Commented by mathmax by abdo last updated on 10/Apr/20
$${error}\:{of}\:{calculus} \\ $$$$\mathrm{8}{F}\left({x}\right)=\frac{\mathrm{1}}{\left({x}−\mathrm{2}\right)^{\mathrm{3}} }−\frac{\mathrm{1}}{{x}^{\mathrm{3}} }−\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{2}\left({x}−\mathrm{2}\right)^{\mathrm{2}} }\:+\frac{\mathrm{3}}{{x}\left({x}−\mathrm{2}\right)}−\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{2}{x}^{\mathrm{2}} } \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\left({x}−\mathrm{2}\right)^{\mathrm{3}} }−\frac{\mathrm{1}}{{x}^{\mathrm{3}} }−\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{2}\left({x}−\mathrm{2}\right)^{\mathrm{2}} }\:−\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{2}}\left(\frac{\mathrm{1}}{{x}}−\frac{\mathrm{1}}{{x}−\mathrm{2}}\right)−\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{2}{x}^{\mathrm{2}} } \\ $$$${F}\left({x}\right)=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{8}}\left\{\frac{\mathrm{1}}{\left({x}−\mathrm{2}\right)^{\mathrm{3}} }−\frac{\mathrm{1}}{{x}^{\mathrm{3}} }−\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{2}\left({x}−\mathrm{2}\right)^{\mathrm{2}} }−\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{2}{x}}\:+\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{2}\left({x}−\mathrm{2}\right)}−\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{2}{x}^{\mathrm{2}} }\right\} \\ $$
Commented by mathmax by abdo last updated on 10/Apr/20
$$\left.\mathrm{2}\right){F}\left({x}\right)=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}^{\mathrm{4}} }\frac{\left\{\left({x}+\mathrm{1}\right)−\left({x}−\mathrm{3}\right)\right\}^{\mathrm{4}} }{\left({x}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{4}} \left({x}−\mathrm{3}\right)^{\mathrm{4}} } \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{4}^{\mathrm{4}} \:{F}\left({x}\right)=\frac{\left\{\left({x}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} −\mathrm{2}\left({x}+\mathrm{1}\right)\left({x}−\mathrm{3}\right)+\left({x}−\mathrm{3}\right)^{\mathrm{2}} \right\}^{\mathrm{2}} }{\left({x}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{4}} \left({x}−\mathrm{3}\right)^{\mathrm{4}} } \\ $$$${we}\:{use}\:{the}\:{identity}\:\left({a}+{b}+{c}\right)^{\mathrm{2}} ={a}^{\mathrm{2}} \:+{b}^{\mathrm{2}} \:+{c}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{2}\left({ab}\:+{bc}\:+{ca}\right)\:\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{4}^{\mathrm{4}} \:{F}\left({x}\right)=\frac{\left({x}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{4}} \:+\mathrm{4}\left({x}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} \left({x}−\mathrm{3}\right)^{\mathrm{2}} \:+\left({x}−\mathrm{3}\right)^{\mathrm{4}} \:+\mathrm{2}\left\{\:−\mathrm{2}\left({x}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{3}} \left({x}−\mathrm{3}\right)+\left({x}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} \left({x}−\mathrm{3}\right)^{\mathrm{2}} −\mathrm{2}\left({x}+\mathrm{1}\right)\left({x}−\mathrm{3}\right)^{\mathrm{3}} \right\}}{\left({x}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{4}} \left({x}−\mathrm{3}\right)^{\mathrm{4}} } \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\left({x}−\mathrm{3}\right)^{\mathrm{4}} }\:+\frac{\mathrm{4}}{\left({x}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} \left({x}−\mathrm{3}\right)^{\mathrm{2}} }\:+\frac{\mathrm{1}}{\left({x}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{4}} }\:−\frac{\mathrm{4}}{\left({x}+\mathrm{1}\right)\left({x}−\mathrm{3}\right)^{\mathrm{3}} }\:+\frac{\mathrm{2}}{\left({x}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} \left({x}−\mathrm{3}\right)^{\mathrm{2}} }−\frac{\mathrm{4}}{\left({x}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{3}} \left({x}−\mathrm{3}\right)} \\ $$$${also}\:{we}\:{have}\:\frac{\mathrm{4}}{\left({x}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} \left({x}−\mathrm{3}\right)^{\mathrm{2}} }\:=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}\left\{\frac{\left(\left({x}+\mathrm{1}\right)−\left({x}−\mathrm{3}\right)\right)^{\mathrm{2}} }{\left({x}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} \left({x}−\mathrm{3}\right)^{\mathrm{2}} }\right\} \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}\left\{\frac{\left({x}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} −\mathrm{2}\left({x}+\mathrm{1}\right)\left({x}−\mathrm{3}\right)\:+\left({x}−\mathrm{3}\right)^{\mathrm{2}} }{\left({x}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} \left({x}−\mathrm{3}\right)^{\mathrm{2}} }\right\} \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}\left\{\:\frac{\mathrm{1}}{\left({x}−\mathrm{3}\right)^{\mathrm{2}} }\:−\frac{\mathrm{2}}{\left({x}+\mathrm{1}\right)\left({x}−\mathrm{3}\right)}\:+\frac{\mathrm{1}}{\left({x}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }\right\} \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}\left({x}−\mathrm{3}\right)^{\mathrm{2}} }+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{8}}\left(\frac{\mathrm{1}}{{x}+\mathrm{1}}−\frac{\mathrm{1}}{{x}−\mathrm{3}}\right)+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}\left({x}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} } \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}\left({x}−\mathrm{3}\right)^{\mathrm{2}} }\:+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{8}\left({x}+\mathrm{1}\right)}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{8}\left({x}−\mathrm{3}\right)}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}\left({x}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} } \\ $$$$−\frac{\mathrm{4}}{\left({x}+\mathrm{1}\right)\left({x}−\mathrm{3}\right)^{\mathrm{3}} }−\frac{\mathrm{4}}{\left({x}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{3}} \left({x}−\mathrm{3}\right)}\:=−\frac{\mathrm{4}}{\left({x}+\mathrm{1}\right)\left({x}−\mathrm{3}\right)}\left(\frac{\mathrm{1}}{\left({x}−\mathrm{3}\right)^{\mathrm{2}} }+\frac{\mathrm{1}}{\left({x}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }\right) \\ $$$$=\left(\frac{\mathrm{1}}{{x}+\mathrm{1}}−\frac{\mathrm{1}}{{x}−\mathrm{3}}\right)\left(\frac{\mathrm{1}}{\left({x}−\mathrm{3}\right)^{\mathrm{2}} }+\frac{\mathrm{1}}{\left({x}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }\right) \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\left({x}+\mathrm{1}\right)\left({x}−\mathrm{3}\right)^{\mathrm{2}} }\:+\frac{\mathrm{1}}{\left({x}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{3}} }−\frac{\mathrm{1}}{\left({x}−\mathrm{3}\right)^{\mathrm{3}} }−\frac{\mathrm{1}}{\left({x}−\mathrm{3}\right)\left({x}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} } \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\left({x}+\mathrm{1}\right)\left({x}−\mathrm{3}\right)}\left\{\frac{\mathrm{1}}{{x}−\mathrm{3}}−\frac{\mathrm{1}}{{x}+\mathrm{1}}\right\}+\frac{\mathrm{1}}{\left({x}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{3}} }−\frac{\mathrm{1}}{\left({x}−\mathrm{3}\right)^{\mathrm{3}} } \\ $$$$=−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}\left(\frac{\mathrm{1}}{{x}+\mathrm{1}}−\frac{\mathrm{1}}{{x}−\mathrm{3}}\right)\left(\frac{\mathrm{1}}{{x}−\mathrm{3}}−\frac{\mathrm{1}}{{x}+\mathrm{1}}\right)+\frac{\mathrm{1}}{\left({x}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{3}} }−\frac{\mathrm{1}}{\left({x}−\mathrm{3}\right)^{\mathrm{3}} } \\ $$$$=−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}\left(\frac{\mathrm{1}}{\left({x}+\mathrm{1}\right)\left({x}−\mathrm{3}\right)}−\frac{\mathrm{1}}{\left({x}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }−\frac{\mathrm{1}}{\left({x}−\mathrm{3}\right)^{\mathrm{2}} }+\frac{\mathrm{1}}{\left({x}−\mathrm{3}\right)\left({x}+\mathrm{1}\right)}\right)+\frac{\mathrm{1}}{\left({x}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{3}} }−\frac{\mathrm{1}}{\left({x}−\mathrm{3}\right)^{\mathrm{3}} } \\ $$$$…. \\ $$
Commented by abdomathmax last updated on 10/Apr/20
$$\left.\mathrm{1}\right)\:{another}\:{way}\:\:{we}\:{detemine}\:{D}_{\mathrm{2}} {f}\left(\mathrm{0}\right)\:{with} \\ $$$${f}\left({x}\right)=\frac{\mathrm{1}}{\left({x}−\mathrm{2}\right)^{\mathrm{3}} }\:\Rightarrow{f}\left({x}\right)={f}\left(\mathrm{0}\right)\:+\frac{{x}}{\mathrm{1}!}{f}^{\left(\mathrm{1}\right)} \left(\mathrm{0}\right)+\frac{{x}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{2}!}{f}^{\left(\mathrm{2}\right)} \left(\mathrm{0}\right) \\ $$$$+{x}^{\mathrm{3}} \xi\left({x}\right) \\ $$$${f}\left(\mathrm{0}\right)=−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{8}} \\ $$$${f}\left({x}\right)=\left({x}−\mathrm{2}\right)^{−\mathrm{3}} \:\Rightarrow{f}^{'} \left({x}\right)=−\mathrm{3}\left({x}−\mathrm{2}\right)^{−\mathrm{4}} \:\Rightarrow \\ $$$${f}^{'} \left(\mathrm{0}\right)=−\mathrm{3}\left(−\mathrm{2}\right)^{−\mathrm{4}} \:=\frac{−\mathrm{3}}{\mathrm{2}^{\mathrm{4}} }\:=−\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{16}} \\ $$$${f}^{\left(\mathrm{2}\right)} \left(\mathrm{0}\right)\:=\mathrm{12}\left({x}−\mathrm{2}\right)^{−\mathrm{5}} \:\Rightarrow{f}^{\left(\mathrm{2}\right)} \left(\mathrm{0}\right)\:=\frac{\mathrm{12}}{\left(−\mathrm{2}\right)^{\mathrm{5}} }\:=−\frac{\mathrm{12}}{\mathrm{2}^{\mathrm{5}} } \\ $$$$=−\frac{\mathrm{12}}{\mathrm{32}}\:=−\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{8}}\:\:{decomposition}\:{of}\:{F}\:{is} \\ $$$${F}\left({x}\right)=\sum_{{i}=\mathrm{1}} ^{\mathrm{3}} \:\frac{{a}_{{i}} }{{x}^{{i}} }\:+\sum_{{i}=\mathrm{1}} ^{\mathrm{3}} \:\frac{{b}_{{i}} }{\left({x}−\mathrm{2}\right)^{{i}} }\:\:{we}\:{have} \\ $$$${F}\left({x}\right)=\frac{\mathrm{1}}{{x}^{\mathrm{3}} }\left(−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{8}}−\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{16}}{x}−\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{16}}{x}^{\mathrm{2}} \:+{x}^{\mathrm{3}} \xi\left({x}\right)\right) \\ $$$$=−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{8}{x}^{\mathrm{3}} }−\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{16}{x}^{\mathrm{2}} }−\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{16}{x}}\:+\xi\left({x}\right)\:\Rightarrow{a}_{\mathrm{1}} =−\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{16}} \\ $$$${a}_{\mathrm{2}} =−\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{16}}\:\:{and}\:{a}_{\mathrm{3}} =−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{8}}\:\:{let}\:{find}\:{the}\:{b}_{{i}} \:{we}\:{do}\:{the} \\ $$$${changement}\:{x}−\mathrm{2}\:={t}\:\Rightarrow \\ $$$${F}\left({x}\right)=\frac{\mathrm{1}}{{t}^{\mathrm{3}} \left({t}+\mathrm{2}\right)^{\mathrm{3}} }\:\:{and}\:{find}\:{D}_{\mathrm{2}} \left(\mathrm{0}\right)\:{for}\:{g}\left({t}\right)=\left({t}+\mathrm{2}\right)^{−\mathrm{3}} \\ $$$${g}\left({t}\right)={g}\left(\mathrm{0}\right)+{t}\:{g}^{'} \left(\mathrm{0}\right)\:+\frac{{t}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{2}}{g}^{\left(\mathrm{2}\right)} \left(\mathrm{0}\right)\:+{t}^{\mathrm{3}} \delta\left({x}\right) \\ $$$${g}\left(\mathrm{0}\right)=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{8}}\:\:,\:\:\:{g}^{'} \left({t}\right)=−\mathrm{3}\left({t}+\mathrm{2}\right)^{−\mathrm{4}} \:\Rightarrow{g}^{'} \left(\mathrm{0}\right)=\frac{−\mathrm{3}}{\mathrm{16}} \\ $$$${g}^{\left(\mathrm{2}\right)} \left(\mathrm{0}\right)\:=\mathrm{12}\left({t}+\mathrm{2}\right)^{−\mathrm{5}} \:\Rightarrow{g}^{\left(\mathrm{2}\right)} \left(\mathrm{0}\right)=\frac{\mathrm{12}}{\mathrm{2}^{\mathrm{5}} }\:=\frac{\mathrm{12}}{\mathrm{32}}\:=\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{8}} \\ $$$${F}\left({x}\right)=\frac{\mathrm{1}}{{t}^{\mathrm{3}} }\left\{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{8}}−\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{16}}{t}\:+\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{16}}{t}^{\mathrm{2}} \:+{t}^{\mathrm{3}} \delta\left({t}\right)\right\} \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{8}{t}^{\mathrm{3}} }\:−\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{16}{t}^{\mathrm{2}} }\:+\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{16}{t}}\:+\delta\left({t}\right) \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{8}\left({x}−\mathrm{2}\right)^{\mathrm{3}} }−\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{16}\left({x}−\mathrm{2}\right)^{\mathrm{2}} }+\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{16}\left({x}−\mathrm{2}\right)}\:+\delta\left({t}\right)\:\Rightarrow \\ $$$${b}_{\mathrm{1}} =\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{16}}\:,\:{b}_{\mathrm{2}} =−\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{26}}\:\:{and}\:{b}_{\mathrm{3}} =\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{8}} \\ $$$${tbe}\:{coefficients}\:{are}\:{found} \\ $$$$ \\ $$
Commented by abdomathmax last updated on 10/Apr/20
$${b}_{\mathrm{2}} =−\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{16}} \\ $$