Question Number 176070 by doline last updated on 11/Sep/22
$${demontrer}\:{par}\:{recurrence}\:{que}\:{pour}\:{tout}\:{n}>\mathrm{0}\:{appartenent}\:{a}\:{l}\:{ensemble}\:{des}\:{entier}\:{naturel}\:\mathrm{3}^{\mathrm{2}{n}−\mathrm{2}^{{n}\:} } {est}\:{multiple}\:{de}\:\mathrm{7} \\ $$
Commented by som(math1967) last updated on 11/Sep/22
$$\mathrm{3}^{\mathrm{2}{n}} −\mathrm{2}^{{n}} \\ $$$${p}\left(\mathrm{1}\right)=\mathrm{3}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2}^{\mathrm{1}} =\mathrm{7} \\ $$$${let}\:{true}\:{for}\:{p}\left({m}\right) \\ $$$$\:\therefore\mathrm{3}^{\mathrm{2}{m}} −\mathrm{2}^{{m}} =\mathrm{7}{k} \\ $$$$\:\mathrm{3}^{\mathrm{2}{m}} =\mathrm{7}{k}+\mathrm{2}^{{m}} \\ $$$${p}\left({m}+\mathrm{1}\right)=\mathrm{3}^{\mathrm{2}{m}+\mathrm{2}} −\mathrm{2}^{{m}+\mathrm{1}} \\ $$$$=\mathrm{3}^{\mathrm{2}{m}} ×\mathrm{9}−\mathrm{2}^{{m}+\mathrm{1}} \\ $$$$=\left(\mathrm{7}{k}+\mathrm{2}^{{m}} \right)×\mathrm{9}−\mathrm{2}^{{m}+\mathrm{1}} \\ $$$$=\mathrm{63}{k}\:+\mathrm{2}^{{m}} ×\mathrm{9}−\mathrm{2}^{{m}+\mathrm{1}} \\ $$$$=\mathrm{63}{k}\:+\mathrm{2}^{{m}} \left(\mathrm{9}−\mathrm{2}\right) \\ $$$$=\mathrm{7}\left(\mathrm{9}{k}+\mathrm{2}^{{m}} \right) \\ $$$$\therefore\:{true}\:{for}\:{p}\left({m}+\mathrm{1}\right) \\ $$$$\therefore\:\mathrm{3}^{\mathrm{2}{n}} −\mathrm{2}^{{n}} \:\:{multiple}\:{de}\:\mathrm{7}\:\:{n}\in{N} \\ $$
Commented by som(math1967) last updated on 11/Sep/22
$$\:\mathrm{3}^{\mathrm{2}{n}−\mathrm{2}^{{n}} } \:{or}\:\mathrm{3}^{\mathrm{2}{n}} −\mathrm{2}^{{n}} \:\:? \\ $$
Commented by doline last updated on 11/Sep/22
$${multiple}\:{de}\:\mathrm{7} \\ $$