Question Number 159863 by HongKing last updated on 21/Nov/21
$$\mathrm{Dertermine}\:\mathrm{all}\:\mathrm{pairs}\:\left(\boldsymbol{\mathrm{x}};\boldsymbol{\mathrm{y}}\right)\:\mathrm{of}\:\mathrm{integers} \\ $$$$\mathrm{such}\:\mathrm{that} \\ $$$$\mathrm{2010x}\:-\:\mathrm{xy}\:+\:\mathrm{2012y}\:+\:\mathrm{1}\:=\:\mathrm{0} \\ $$
Answered by mr W last updated on 21/Nov/21
$$\left({x}−\mathrm{2012}\right){y}=\mathrm{1}+\mathrm{2010}{x} \\ $$$${y}=\frac{\mathrm{1}+\mathrm{2010}×\mathrm{2012}+\mathrm{2010}\left({x}−\mathrm{2012}\right)}{{x}−\mathrm{2012}} \\ $$$${y}=\mathrm{2010}+\frac{\mathrm{2011}^{\mathrm{2}} }{{x}−\mathrm{2012}} \\ $$$${x}−\mathrm{2012}=\pm\mathrm{1} \\ $$$$\Rightarrow{x}=\mathrm{2011},\:\mathrm{2013}\: \\ $$$$\Rightarrow{y}=−\mathrm{4042111},\:\mathrm{4046131} \\ $$$${x}−\mathrm{2012}=\pm\mathrm{2011} \\ $$$$\Rightarrow{x}=\mathrm{1},\:\mathrm{4023} \\ $$$$\Rightarrow{y}=−\mathrm{1},\:\mathrm{4021} \\ $$$${x}−\mathrm{2012}=\pm\mathrm{4044121} \\ $$$$\Rightarrow{x}=−\mathrm{4042109},\mathrm{4046133} \\ $$$$\Rightarrow{y}=\mathrm{2009},\:\mathrm{2011} \\ $$$${all}\:{pairs}\:\left({x},\:{y}\right): \\ $$$$\left(\mathrm{2011},\:−\mathrm{4042111}\right) \\ $$$$\left(\mathrm{2013},\:\mathrm{4046131}\right) \\ $$$$\left(\mathrm{1},\:−\mathrm{1}\right) \\ $$$$\left(\mathrm{4023},\:\mathrm{4021}\right) \\ $$$$\left(−\mathrm{4042109},\:\mathrm{2009}\right) \\ $$$$\left(\mathrm{4046133},\:\mathrm{2011}\right) \\ $$
Commented by Rasheed.Sindhi last updated on 22/Nov/21
$$\boldsymbol{\mathrm{e}}^{\boldsymbol{\mathrm{x}}} \mathrm{cellent}\:\mathrm{sir}! \\ $$
Commented by HongKing last updated on 22/Nov/21
$$\mathrm{thank}\:\mathrm{you}\:\mathrm{so}\:\mathrm{much}\:\mathrm{my}\:\mathrm{dear}\:\mathrm{Ser}\:\mathrm{cool} \\ $$