Question Number 151205 by EDWIN88 last updated on 19/Aug/21
$$\underbrace{ }\:\begin{array}{|c|c|}{\left(\mathrm{2}+\sqrt{\mathrm{3}}\right)^{{x}} +\mathrm{1}\:=\left(\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{2}+\sqrt{\mathrm{3}}}\right)^{{x}} }\\{{x}\:=?\:}\\\hline\end{array} \\ $$
Answered by bramlexs22 last updated on 19/Aug/21
$$\:\frac{\mathrm{1}}{\left(\mathrm{2}−\sqrt{\mathrm{3}}\right)^{\mathrm{x}} }\:+\:\mathrm{1}\:=\:\frac{\mathrm{2}^{\mathrm{x}} }{\left(\mathrm{2}−\sqrt{\mathrm{3}}\right)^{\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{2}}} }\: \\ $$$$\:\frac{\mathrm{1}}{\left(\mathrm{2}−\sqrt{\mathrm{3}}\right)^{\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{2}}} }\:+\:\left(\mathrm{2}−\sqrt{\mathrm{3}}\right)^{\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{2}}} \:=\:\mathrm{2}^{\mathrm{x}} \\ $$$$\frac{\mathrm{1}}{\left(\mathrm{2}−\sqrt{\mathrm{3}}\right)^{\mathrm{x}} }\:+\left(\mathrm{2}−\sqrt{\mathrm{3}}\right)^{\mathrm{x}} \:=\:\mathrm{4}^{\mathrm{x}} −\mathrm{2} \\ $$$$\:\left(\mathrm{2}+\sqrt{\mathrm{3}}\right)^{\mathrm{x}} \:+\:\left(\mathrm{2}−\sqrt{\mathrm{3}}\right)^{\mathrm{x}} \:=\:\mathrm{4}^{\mathrm{x}} −\mathrm{2} \\ $$$$\mathrm{x}\:=\:\mathrm{2}\:,\:\mathrm{check}\:\Rightarrow\mathrm{LHS}\equiv\left(\mathrm{2}+\sqrt{\mathrm{3}}\right)^{\mathrm{2}} +\left(\mathrm{2}−\sqrt{\mathrm{3}}\right)^{\mathrm{2}} \:=\:\mathrm{7}+\mathrm{7}=\mathrm{14} \\ $$$$\mathrm{RHS}\:\equiv\:\mathrm{4}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2}=\mathrm{14}\: \\ $$