Question Number 124694 by mathocean1 last updated on 05/Dec/20
$${Determinate}\:{m}\:{such}\:{that} \\ $$$${m}\:{is}\:{written}\:{abcca}\:{in}\:{base}\:\mathrm{5}\:{and}\:{is} \\ $$$${written}\:{bbab}\:{in}\:{base}\:\mathrm{8}. \\ $$
Answered by floor(10²Eta[1]) last updated on 05/Dec/20
$$\mathrm{M}=\mathrm{abcca}_{\mathrm{5}} =\mathrm{bbab}_{\mathrm{8}} ;\:\mathrm{1}\leqslant\mathrm{a}\leqslant\mathrm{4},\:\mathrm{0}\leqslant\mathrm{b},\:\mathrm{c}\leqslant\mathrm{4} \\ $$$$\mathrm{a}.\mathrm{5}^{\mathrm{4}} +\mathrm{b}.\mathrm{5}^{\mathrm{3}} +\mathrm{c}.\mathrm{5}^{\mathrm{2}} +\mathrm{c}.\mathrm{5}+\mathrm{a}=\mathrm{b}.\mathrm{8}^{\mathrm{3}} +\mathrm{b}.\mathrm{8}^{\mathrm{2}} +\mathrm{a}.\mathrm{8}+\mathrm{b} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{309a}−\mathrm{226b}+\mathrm{15c}=\mathrm{0} \\ $$$$\mathrm{309a}−\mathrm{226b}=−\mathrm{15c}<\mathrm{0} \\ $$$$\mathrm{309a}<\mathrm{226b}\Rightarrow\mathrm{a}<\mathrm{b} \\ $$$$\mathrm{309a}−\mathrm{226b}+\mathrm{15c}\equiv\mathrm{4a}−\mathrm{b}\equiv\mathrm{0}\left(\mathrm{mod5}\right) \\ $$$$\mathrm{4a}\equiv\mathrm{b}\left(\mathrm{mod5}\right)\Rightarrow\left(\mathrm{a},\:\mathrm{b}\right)=\left(\mathrm{2},\:\mathrm{3}\right),\:\left(\mathrm{1},\:\mathrm{4}\right) \\ $$$$\mathrm{checking}\:\mathrm{you}\:\mathrm{see}\:\mathrm{that}\:\left(\mathrm{a},\mathrm{b}\right)=\left(\mathrm{2},\mathrm{3}\right)\Rightarrow\mathrm{c}=\mathrm{4} \\ $$$$\mathrm{M}=\mathrm{23442}_{\mathrm{5}} =\mathrm{3323}_{\mathrm{8}} \\ $$$$ \\ $$