Question Number 96837 by mathmax by abdo last updated on 05/Jun/20
![determine f continue on [a,b] wich verify (∫_a ^b f(x)dx)^2 =∫_a ^b f^2 (x)dx](https://www.tinkutara.com/question/Q96837.png)
$$\mathrm{determine}\:\mathrm{f}\:\mathrm{continue}\:\mathrm{on}\:\left[\mathrm{a},\mathrm{b}\right]\:\mathrm{wich}\:\mathrm{verify}\:\left(\int_{\mathrm{a}} ^{\mathrm{b}} \mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\mathrm{dx}\right)^{\mathrm{2}} \:=\int_{\mathrm{a}} ^{\mathrm{b}} \:\mathrm{f}^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{x}\right)\mathrm{dx} \\ $$
Answered by mathmax by abdo last updated on 07/Jun/20
$$\mathrm{let}\:\mathrm{b}=\mathrm{t}\:\left(\mathrm{afixed}\right)\:\Rightarrow\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dt}}\left(\:\int_{\mathrm{a}} ^{\mathrm{t}} \mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\mathrm{dx}\right)^{\mathrm{2}} \:=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}\:\int_{\mathrm{a}} ^{\mathrm{t}} \:\mathrm{f}^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{x}\right)\mathrm{dx}\:\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{2}\:\int_{\mathrm{a}} ^{\mathrm{t}} \:\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\mathrm{dx}\:\mathrm{f}\left(\mathrm{t}\right)\:=\mathrm{f}^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{t}\right)\:\Rightarrow\mathrm{2}\:\int_{\mathrm{a}} ^{\mathrm{t}} \:\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\mathrm{dx}\:=\mathrm{f}\left(\mathrm{t}\right)\:\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{2f}^{'} \left(\mathrm{t}\right)\:=\mathrm{f}^{'} \left(\mathrm{t}\right)\:\Rightarrow\mathrm{f}^{'} \left(\mathrm{t}\right)\:=\mathrm{0}\:\Rightarrow\mathrm{f}\:=\mathrm{c} \\ $$$$\left(\int_{\mathrm{a}} ^{\mathrm{b}} \:\mathrm{cdx}\right)^{\mathrm{2}} \:=\int_{\mathrm{a}} ^{\mathrm{b}} \:\mathrm{c}^{\mathrm{2}} \:\mathrm{dx}\:\Rightarrow\left(\mathrm{c}\left(\mathrm{b}−\mathrm{a}\right)^{\mathrm{2}} \:=\mathrm{c}^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{b}−\mathrm{a}\right)\:\Rightarrow\mathrm{c}^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{b}−\mathrm{a}\right)^{\mathrm{2}} \:=\mathrm{c}^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{b}−\mathrm{a}\right)\right. \\ $$$$\mathrm{so}\:\mathrm{if}\:\mathrm{a}\neq\mathrm{b}\:\:\Rightarrow\mathrm{c}=\mathrm{0}\:\:\mathrm{so}\:\mathrm{f}\:=\mathrm{0} \\ $$