Question Number 99460 by mathmax by abdo last updated on 21/Jun/20
$$\mathrm{determine}\:\mathrm{L}\left(\frac{\mathrm{1}−\mathrm{cosx}}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }\right) \\ $$
Answered by mathmax by abdo last updated on 23/Jun/20
$$\mathrm{L}\left(\frac{\mathrm{1}−\mathrm{cosx}}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }\right)\:=\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \:\frac{\mathrm{1}−\mathrm{cost}}{\mathrm{t}^{\mathrm{2}} }\mathrm{e}^{−\mathrm{xt}} \:\mathrm{dt}\:\:=\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\:\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{f}^{'} \left(\mathrm{x}\right)\:=−\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \:\frac{\left(\mathrm{1}−\mathrm{cost}\right)\mathrm{e}^{−\mathrm{xt}} }{\mathrm{t}}\mathrm{dt}\:\Rightarrow\mathrm{f}^{\left(\mathrm{2}\right)} \left(\mathrm{x}\right)\:=\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \:\left(\mathrm{1}−\mathrm{cost}\right)\mathrm{e}^{−\mathrm{xt}} \:\mathrm{dt} \\ $$$$=\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \:\mathrm{e}^{−\mathrm{xt}} \:\mathrm{dt}\:−\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \:\mathrm{e}^{−\mathrm{xt}} \:\mathrm{cost}\:\mathrm{dt}\:\:\mathrm{but}\:\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \:\mathrm{e}^{−\mathrm{xt}} \:\mathrm{dt}\:=\left[−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}}\mathrm{e}^{−\mathrm{xt}} \right]_{\mathrm{0}} ^{\infty} \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}}\:\:\mathrm{and}\:\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \:\mathrm{e}^{−\mathrm{xt}} \:\mathrm{cost}\:\mathrm{dt}\:=\mathrm{Re}\left(\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \:\mathrm{e}^{−\mathrm{xt}+\mathrm{it}} \mathrm{dt}\right)\:=\mathrm{Re}\left(\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \:\mathrm{e}^{\left(−\mathrm{x}+\mathrm{i}\right)\mathrm{t}} \mathrm{dt}\right) \\ $$$$\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \:\mathrm{e}^{\left(−\mathrm{x}+\mathrm{i}\right)\mathrm{t}} \:\mathrm{dt}\:=\left[\frac{\mathrm{1}}{−\mathrm{x}+\mathrm{i}}\mathrm{e}^{\left(−\mathrm{x}+\mathrm{i}\right)\mathrm{t}} \right]_{\mathrm{0}} ^{\infty} \:=−\frac{\mathrm{1}}{−\mathrm{x}+\mathrm{i}}\:=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}−\mathrm{i}}\:=\frac{\mathrm{x}+\mathrm{i}}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{1}}\:\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{Re}\left(…\right)\:=\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{1}}\:\Rightarrow\mathrm{f}^{\left(\mathrm{2}\right)} \left(\mathrm{x}\right)\:=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}}−\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{1}}\:\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{f}^{'} \left(\mathrm{x}\right)\:=\mathrm{lnx}\:−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{ln}\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{1}\right)\:+\mathrm{k}\:\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\:=\int\:\mathrm{ln}\left(\mathrm{x}\right)\mathrm{dx}\:−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\int\:\mathrm{ln}\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}\right)\mathrm{dx}+\mathrm{kx}\:+\mathrm{c}\:\:\mathrm{we}\:\mathrm{have} \\ $$$$\int\:\mathrm{ln}\left(\mathrm{x}\right)\mathrm{dx}\:=\mathrm{xln}\left(\mathrm{x}\right)−\mathrm{x} \\ $$$$\int\:\mathrm{ln}\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}\right)\mathrm{dx}\:=\mathrm{xln}\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}\right)−\int\:\mathrm{x}×\frac{\mathrm{2x}}{\mathrm{1}+\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }\mathrm{dx}\:=\mathrm{xln}\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{1}\right)−\mathrm{2}\:\int\:\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}−\mathrm{1}}{\mathrm{1}+\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }\mathrm{dx} \\ $$$$=\mathrm{xln}\left(\mathrm{1}+\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \right)−\mathrm{2x}\:+\mathrm{2arctanx}\:\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\:=\mathrm{xlnx}−\mathrm{x}−\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{2}}\mathrm{ln}\left(\mathrm{1}+\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \right)+\mathrm{x}\:−\mathrm{arctanx}\:\:+\mathrm{kx}\:+\mathrm{c}\:\: \\ $$$$\mathrm{c}\:=\mathrm{lim}_{\mathrm{x}\rightarrow\mathrm{0}} \mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\:=\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \:\frac{\mathrm{1}−\mathrm{cost}}{\mathrm{t}^{\mathrm{2}} }\:=\mathrm{2}\:\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \:\frac{\mathrm{sin}^{\mathrm{2}} \mathrm{t}}{\mathrm{t}^{\mathrm{2}} }\mathrm{dt} \\ $$$$=\mathrm{2}\left\{\:\:\left[−\frac{\mathrm{sin}^{\mathrm{2}} \mathrm{t}}{\mathrm{t}}\right]_{\mathrm{0}} ^{\infty} +\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \:\frac{\mathrm{2sintcost}}{\mathrm{t}}\:\mathrm{dt}\right\}\:=\mathrm{2}\:\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \:\frac{\mathrm{sin}\left(\mathrm{2t}\right)}{\mathrm{t}}\:\mathrm{dt}\:=_{\mathrm{2t}=\mathrm{u}} \:\mathrm{2}\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \:\frac{\mathrm{sinu}}{\frac{\mathrm{u}}{\mathrm{2}}}×\frac{\mathrm{du}}{\mathrm{2}} \\ $$$$=\mathrm{2}\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \:\frac{\mathrm{sinu}}{\mathrm{u}}\mathrm{du}\:=\pi\:\Rightarrow\mathrm{c}\:=\pi\:\:\mathrm{rest}\:\mathrm{to}\:\mathrm{find}\:\mathrm{k}\:….\mathrm{be}\:\mathrm{continued}…. \\ $$$$ \\ $$