Question Number 119440 by mathocean1 last updated on 24/Oct/20
$$\mathrm{Determine}\:\mathrm{the}\:\mathrm{integer}\:\mathrm{which}\:\mathrm{can}\: \\ $$$$\mathrm{be}\:\mathrm{written}:\:\mathrm{N}=\overline {\mathrm{xyz}}\:^{\mathrm{7}} =\overline {\mathrm{zyx}}\:^{\mathrm{11}} \\ $$
Commented by mathocean1 last updated on 24/Oct/20
$$\mathrm{Please}\:\mathrm{can}\:\mathrm{you}\:\mathrm{detail}\:\mathrm{sir} \\ $$
Answered by mr W last updated on 25/Oct/20
$${x},{y},{z}\:{are}\:{digits}\:{of}\:{an}\:{integer}\:{of}\:{base}\:\mathrm{7}, \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{0}\leqslant{x},{y},{z}\leqslant\mathrm{6} \\ $$$${besides},\:{x}\geqslant\mathrm{1},\:{z}\geqslant\mathrm{1}. \\ $$$$ \\ $$$$\left({xyz}\right)_{\mathrm{7}} =\mathrm{49}{x}+\mathrm{7}{y}+{z} \\ $$$$\left({zyx}\right)_{\mathrm{11}} =\mathrm{121}{z}+\mathrm{11}{y}+{x} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{49}{x}+\mathrm{7}{y}+{z}=\mathrm{121}{z}+\mathrm{11}{y}+{x} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{48}{x}−\mathrm{4}{y}=\mathrm{120}{z} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{12}{x}−{y}=\mathrm{30}{z} \\ $$$${y}\:{must}\:{be}\:{a}\:{multiple}\:{of}\:\mathrm{6},\:{say}\:{y}=\mathrm{6}{Y} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{2}{x}−{Y}=\mathrm{5}{z} \\ $$$${Y}=\mathrm{0}\:{or}\:\mathrm{1} \\ $$$${with}\:{Y}=\mathrm{0}: \\ $$$$\mathrm{2}{x}=\mathrm{5}{z} \\ $$$$\Rightarrow{x}=\mathrm{5},{z}=\mathrm{2} \\ $$$${with}\:{Y}=\mathrm{1}: \\ $$$$\mathrm{2}{x}−\mathrm{1}=\mathrm{5}{z} \\ $$$$\Rightarrow{x}=\mathrm{3},\:{z}=\mathrm{1} \\ $$$$ \\ $$$${the}\:{solutions}\:{are}: \\ $$$${x}=\mathrm{5},\:{Y}=\mathrm{0}\:\left({i}.{e}.\:{y}=\mathrm{0}\right),\:{z}=\mathrm{2} \\ $$$$\Rightarrow{N}=\left(\mathrm{502}\right)_{\mathrm{7}} =\left(\mathrm{205}\right)_{\mathrm{11}} =\mathrm{247} \\ $$$${x}=\mathrm{3},\:{Y}=\mathrm{1}\:\left({i}.{e}.\:{y}=\mathrm{6}\right),\:{z}=\mathrm{1} \\ $$$$\Rightarrow{N}=\left(\mathrm{361}\right)_{\mathrm{7}} =\left(\mathrm{163}\right)_{\mathrm{11}} =\mathrm{190} \\ $$
Commented by mathocean1 last updated on 25/Oct/20
$$\mathrm{Thank}\:\mathrm{you}\:\mathrm{sir}. \\ $$