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Question Number 22042 by Tinkutara last updated on 10/Oct/17
Determine the number of ordered pairs of positive integers (a, b) such that the least common multiple of a and b is 2^3 ∙5^7 ∙11^(13) .
$$\mathrm{Determine}\:\mathrm{the}\:\mathrm{number}\:\mathrm{of}\:\mathrm{ordered} \\ $$$$\mathrm{pairs}\:\mathrm{of}\:\mathrm{positive}\:\mathrm{integers}\:\left({a},\:{b}\right)\:\mathrm{such} \\ $$$$\mathrm{that}\:\mathrm{the}\:\mathrm{least}\:\mathrm{common}\:\mathrm{multiple}\:\mathrm{of}\:{a} \\ $$$$\mathrm{and}\:{b}\:\mathrm{is}\:\mathrm{2}^{\mathrm{3}} \centerdot\mathrm{5}^{\mathrm{7}} \centerdot\mathrm{11}^{\mathrm{13}} . \\ $$
Answered by Rasheed.Sindhi last updated on 13/Oct/17
Case-1: a=2^(<3) .5^(<7) .11^(<13) a=2^(0,1,2) .5^(0,..,6) .11^(0,..,12) a can be chosen in 3.7.13=273 ways b=2^3 .5^7 .11^(13) b can be chosen in 1.1.1=1 way. Numb. of ways of (a,b)=273.1=273 Case-2: a=2^(<3) .5^(<7) .11^(13) a=2^(0,1,2) .5^(0,..,6) .11^(13) a can be chosen in 3.7.1=21 ways. b=2^3 .5^7 .11^(0,1...13) b can be chosen 1×1×14=14 ways. No of (a,b)=21.14=294 Case-3: a=2^(<3) .5^7 .11^(<13) a=2^(0,1,2) .5^7 .11^(0,..,12) a can be chosen in 3.1.13=39 b=2^3 .5^(0,..7) .11^(13) b can be chosen in 1.8.1=8 ways No of (a,b)=39.8=312 Case-4: a=2^(<3) .5^7 .11^(13) a=2^(0,1,2) .5^7 .11^(13) a can be chosen in 3.1.1=3 ways. b=2^3 .5^(0,..7) .11^(0,...13) b can be chosen 1.8.14=112 ways No of ways for (a,b)=3×112=336 Case-5: a=2^3 .5^(<7) .11^(<13) a=2^3 .5^(0,..,6) .11^(0,..,12) a can be chosen in 1.7.13=91 b=2^(0,..3) .5^7 .11^(13) b can be chosen in 4.1.1=4 ways. No of ways for (a,b)=91×4=364 Case-6: a=2^3 .5^(<7) .11^(13) a=2^3 .5^(0,..,6) .11^(13) a can be chosen in 1.7.1=7 ways b=2^(0,..3) .5^7 .11^(0,..13) b can be chosen in 4.1.14=56 ways. No of ways for (a,b)=7×56=392 Case-7: a=2^3 .5^7 .11^(<13) a=2^3 .5^7 .11^(0,..,12) a can be chosen in 1.1.13=13 ways. b=2^(0,..,3) .5^(0,..,7) .11^(13) b can be chosen in 4.8.1=32 ways No. of ways for (a,b)=13×32=416 Case-8:a=2^3 .5^7 .11^(13) a can be chosen in 1.1.1=1 way. b=2^(≤3) .5^(≤7) .11^(≤13) b can be chosen in 4.8.14=448 ways. No. of ways for (a,b)=1×448=448 ways. Total no. of ways for (a,b): 273+294+312+336+364+392+416+448 =2835
$$\mathrm{Case}-\mathrm{1}:\:{a}=\mathrm{2}^{<\mathrm{3}} .\mathrm{5}^{<\mathrm{7}} .\mathrm{11}^{<\mathrm{13}} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:{a}=\mathrm{2}^{\mathrm{0},\mathrm{1},\mathrm{2}} .\mathrm{5}^{\mathrm{0},..,\mathrm{6}} .\mathrm{11}^{\mathrm{0},..,\mathrm{12}} \\ $$$${a}\:\mathrm{can}\:\mathrm{be}\:\mathrm{chosen}\:\mathrm{in}\:\mathrm{3}.\mathrm{7}.\mathrm{13}=\mathrm{273}\:\mathrm{ways} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:{b}=\mathrm{2}^{\mathrm{3}} .\mathrm{5}^{\mathrm{7}} .\mathrm{11}^{\mathrm{13}} \: \\ $$$${b}\:\mathrm{can}\:\mathrm{be}\:\mathrm{chosen}\:\mathrm{in}\:\mathrm{1}.\mathrm{1}.\mathrm{1}=\mathrm{1}\:\mathrm{way}. \\ $$$$\:\mathrm{Numb}.\:\mathrm{of}\:\mathrm{ways}\:\mathrm{of}\:\left({a},{b}\right)=\mathrm{273}.\mathrm{1}=\mathrm{273} \\ $$$$\mathrm{Case}-\mathrm{2}:\:{a}=\mathrm{2}^{<\mathrm{3}} .\mathrm{5}^{<\mathrm{7}} .\mathrm{11}^{\mathrm{13}} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:{a}=\mathrm{2}^{\mathrm{0},\mathrm{1},\mathrm{2}} .\mathrm{5}^{\mathrm{0},..,\mathrm{6}} .\mathrm{11}^{\mathrm{13}} \\ $$$${a}\:\mathrm{can}\:\mathrm{be}\:\mathrm{chosen}\:\mathrm{in}\:\mathrm{3}.\mathrm{7}.\mathrm{1}=\mathrm{21}\:\mathrm{ways}. \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:{b}=\mathrm{2}^{\mathrm{3}} .\mathrm{5}^{\mathrm{7}} .\mathrm{11}^{\mathrm{0},\mathrm{1}…\mathrm{13}} \\ $$$$\:{b}\:\mathrm{can}\:\mathrm{be}\:\mathrm{chosen}\:\mathrm{1}×\mathrm{1}×\mathrm{14}=\mathrm{14}\:\mathrm{ways}. \\ $$$$\:\mathrm{No}\:\mathrm{of}\:\left({a},{b}\right)=\mathrm{21}.\mathrm{14}=\mathrm{294} \\ $$$$\mathrm{Case}-\mathrm{3}:\:{a}=\mathrm{2}^{<\mathrm{3}} .\mathrm{5}^{\mathrm{7}} .\mathrm{11}^{<\mathrm{13}} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:{a}=\mathrm{2}^{\mathrm{0},\mathrm{1},\mathrm{2}} .\mathrm{5}^{\mathrm{7}} .\mathrm{11}^{\mathrm{0},..,\mathrm{12}} \\ $$$${a}\:\mathrm{can}\:\mathrm{be}\:\mathrm{chosen}\:\mathrm{in}\:\mathrm{3}.\mathrm{1}.\mathrm{13}=\mathrm{39} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:{b}=\mathrm{2}^{\mathrm{3}} .\mathrm{5}^{\mathrm{0},..\mathrm{7}} .\mathrm{11}^{\mathrm{13}} \\ $$$${b}\:\mathrm{can}\:\mathrm{be}\:\mathrm{chosen}\:\mathrm{in}\:\mathrm{1}.\mathrm{8}.\mathrm{1}=\mathrm{8}\:\mathrm{ways} \\ $$$$\mathrm{No}\:\mathrm{of}\:\left({a},{b}\right)=\mathrm{39}.\mathrm{8}=\mathrm{312} \\ $$$$\mathrm{Case}-\mathrm{4}:\:{a}=\mathrm{2}^{<\mathrm{3}} .\mathrm{5}^{\mathrm{7}} .\mathrm{11}^{\mathrm{13}} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:{a}=\mathrm{2}^{\mathrm{0},\mathrm{1},\mathrm{2}} .\mathrm{5}^{\mathrm{7}} .\mathrm{11}^{\mathrm{13}} \\ $$$${a}\:\mathrm{can}\:\mathrm{be}\:\mathrm{chosen}\:\mathrm{in}\:\mathrm{3}.\mathrm{1}.\mathrm{1}=\mathrm{3}\:\mathrm{ways}. \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:{b}=\mathrm{2}^{\mathrm{3}} .\mathrm{5}^{\mathrm{0},..\mathrm{7}} .\mathrm{11}^{\mathrm{0},…\mathrm{13}} \\ $$$${b}\:\mathrm{can}\:\mathrm{be}\:\mathrm{chosen}\:\mathrm{1}.\mathrm{8}.\mathrm{14}=\mathrm{112}\:\mathrm{ways} \\ $$$$\mathrm{No}\:\mathrm{of}\:\mathrm{ways}\:\mathrm{for}\:\left({a},{b}\right)=\mathrm{3}×\mathrm{112}=\mathrm{336} \\ $$$$\mathrm{Case}-\mathrm{5}:\:{a}=\mathrm{2}^{\mathrm{3}} .\mathrm{5}^{<\mathrm{7}} .\mathrm{11}^{<\mathrm{13}} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:{a}=\mathrm{2}^{\mathrm{3}} .\mathrm{5}^{\mathrm{0},..,\mathrm{6}} .\mathrm{11}^{\mathrm{0},..,\mathrm{12}} \\ $$$${a}\:\mathrm{can}\:\mathrm{be}\:\mathrm{chosen}\:\mathrm{in}\:\mathrm{1}.\mathrm{7}.\mathrm{13}=\mathrm{91} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:{b}=\mathrm{2}^{\mathrm{0},..\mathrm{3}} .\mathrm{5}^{\mathrm{7}} .\mathrm{11}^{\mathrm{13}} \\ $$$${b}\:\mathrm{can}\:\mathrm{be}\:\mathrm{chosen}\:\mathrm{in}\:\mathrm{4}.\mathrm{1}.\mathrm{1}=\mathrm{4}\:\mathrm{ways}. \\ $$$$\mathrm{No}\:\mathrm{of}\:\mathrm{ways}\:\mathrm{for}\:\left({a},{b}\right)=\mathrm{91}×\mathrm{4}=\mathrm{364} \\ $$$$\mathrm{Case}-\mathrm{6}:\:{a}=\mathrm{2}^{\mathrm{3}} .\mathrm{5}^{<\mathrm{7}} .\mathrm{11}^{\mathrm{13}} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:{a}=\mathrm{2}^{\mathrm{3}} .\mathrm{5}^{\mathrm{0},..,\mathrm{6}} .\mathrm{11}^{\mathrm{13}} \\ $$$${a}\:\mathrm{can}\:\mathrm{be}\:\mathrm{chosen}\:\mathrm{in}\:\mathrm{1}.\mathrm{7}.\mathrm{1}=\mathrm{7}\:\mathrm{ways} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:{b}=\mathrm{2}^{\mathrm{0},..\mathrm{3}} .\mathrm{5}^{\mathrm{7}} .\mathrm{11}^{\mathrm{0},..\mathrm{13}} \\ $$$${b}\:\mathrm{can}\:\mathrm{be}\:\mathrm{chosen}\:\mathrm{in}\:\mathrm{4}.\mathrm{1}.\mathrm{14}=\mathrm{56}\:\mathrm{ways}. \\ $$$$\mathrm{No}\:\mathrm{of}\:\mathrm{ways}\:\mathrm{for}\:\left({a},{b}\right)=\mathrm{7}×\mathrm{56}=\mathrm{392} \\ $$$$\mathrm{Case}-\mathrm{7}:\:{a}=\mathrm{2}^{\mathrm{3}} .\mathrm{5}^{\mathrm{7}} .\mathrm{11}^{<\mathrm{13}} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:{a}=\mathrm{2}^{\mathrm{3}} .\mathrm{5}^{\mathrm{7}} .\mathrm{11}^{\mathrm{0},..,\mathrm{12}} \\ $$$${a}\:\mathrm{can}\:\mathrm{be}\:\mathrm{chosen}\:\mathrm{in}\:\mathrm{1}.\mathrm{1}.\mathrm{13}=\mathrm{13}\:\mathrm{ways}. \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:{b}=\mathrm{2}^{\mathrm{0},..,\mathrm{3}} .\mathrm{5}^{\mathrm{0},..,\mathrm{7}} .\mathrm{11}^{\mathrm{13}} \\ $$$${b}\:\mathrm{can}\:\mathrm{be}\:\mathrm{chosen}\:\mathrm{in}\:\mathrm{4}.\mathrm{8}.\mathrm{1}=\mathrm{32}\:\mathrm{ways} \\ $$$$\mathrm{No}.\:\mathrm{of}\:\mathrm{ways}\:\mathrm{for}\:\left({a},{b}\right)=\mathrm{13}×\mathrm{32}=\mathrm{416} \\ $$$$\mathrm{Case}-\mathrm{8}:{a}=\mathrm{2}^{\mathrm{3}} .\mathrm{5}^{\mathrm{7}} .\mathrm{11}^{\mathrm{13}} \\ $$$${a}\:\mathrm{can}\:\mathrm{be}\:\mathrm{chosen}\:\mathrm{in}\:\mathrm{1}.\mathrm{1}.\mathrm{1}=\mathrm{1}\:\mathrm{way}. \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:{b}=\mathrm{2}^{\leqslant\mathrm{3}} .\mathrm{5}^{\leqslant\mathrm{7}} .\mathrm{11}^{\leqslant\mathrm{13}} \\ $$$${b}\:\mathrm{can}\:\mathrm{be}\:\mathrm{chosen}\:\mathrm{in}\:\mathrm{4}.\mathrm{8}.\mathrm{14}=\mathrm{448}\:\mathrm{ways}. \\ $$$$\mathrm{No}.\:\mathrm{of}\:\mathrm{ways}\:\mathrm{for}\:\left({a},{b}\right)=\mathrm{1}×\mathrm{448}=\mathrm{448}\:\mathrm{ways}. \\ $$$$ \\ $$$$\mathrm{Total}\:\mathrm{no}.\:\mathrm{of}\:\mathrm{ways}\:\mathrm{for}\:\left({a},{b}\right): \\ $$$$\mathrm{273}+\mathrm{294}+\mathrm{312}+\mathrm{336}+\mathrm{364}+\mathrm{392}+\mathrm{416}+\mathrm{448} \\ $$$$=\mathrm{2835} \\ $$
Commented by Tinkutara last updated on 13/Oct/17
Thank you very much Sir!
$$\mathrm{Thank}\:\mathrm{you}\:\mathrm{very}\:\mathrm{much}\:\mathrm{Sir}! \\ $$

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