Question Number 161369 by mnjuly1970 last updated on 17/Dec/21
$$ \\ $$$$\:\:\:\:\:\mathrm{D}{etermine}\:{the}\:{value}\:{of}\:{the}\:{following} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:{proposition}\:.\:\left(\:\:\mathrm{T}{rue}\:\:{or}\:\:\mathrm{F}{alse}\:\right) \\ $$$$ \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\exists\:{x}\:\in\:\mathbb{R}\:;\:\:\begin{vmatrix}{\:\mathrm{1}+\mathrm{2}{x}}&{\:\mathrm{2}{x}}&{\mathrm{2}{x}}\\{\:\:\mathrm{2}{x}}&{\:\mathrm{1}+\mathrm{2}{x}}&{\:\mathrm{2}{x}\:}\\{\:\:\mathrm{2}{x}}&{\:\mathrm{2}{x}}&{\mathrm{1}\:+\mathrm{2}{x}}\end{vmatrix}=\:{x}^{\:\mathrm{3}} +\:\mathrm{8}{x}−\mathrm{2}\:\:\:\:\:\:\:\: \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:−−−−−−−−− \\ $$$$\:\:\: \\ $$
Answered by 1549442205PVT last updated on 17/Dec/21
$$\bigtriangleup=\left(\mathrm{1}+\mathrm{2}{x}\right)^{\mathrm{3}} +\mathrm{4}{x}^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{1}+\mathrm{2}{x}\right)+\mathrm{8}{x}^{\mathrm{3}} −\mathrm{4}{x}^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{1}+\mathrm{2}{x}\right)−\mathrm{4}{x}^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{1}+\mathrm{2}{x}\right)−\mathrm{2}{x}\left(\mathrm{1}+\mathrm{2}{x}\right)^{\mathrm{2}} \\ $$$$=\mathrm{1}+\mathrm{6}{x}+\mathrm{12}{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{8}{x}^{\mathrm{3}} +\mathrm{8}{x}^{\mathrm{3}} −\mathrm{4}{x}^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{1}+\mathrm{2}{x}\right) \\ $$$$−\mathrm{2}{x}−\mathrm{8}{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{8}{x}^{\mathrm{3}} =\mathrm{4}{x}+\mathrm{1} \\ $$$${Hence},{above}\:{result}\:{is}\:{false} \\ $$$${we}\:{can}\:{using}\:{equivalent}\:{transform}\:{of} \\ $$$${two}\:{determinant}\:{follow}\:{as}: \\ $$$$\begin{vmatrix}{\mathrm{1}+\mathrm{2}{x}\:\:\:\mathrm{2}{x}\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{2}{x}}\\{\mathrm{2}{x}\:\:\:\:\:\mathrm{1}+\mathrm{2}{x}\:\:\:\:\:\mathrm{2}{x}}\\{\mathrm{2}{x}\:\:\:\:\:\mathrm{1}+\mathrm{2}{x}\:\:\:\:\mathrm{1}+\mathrm{2}{x}}\end{vmatrix}\sim\begin{vmatrix}{\mathrm{1}+\mathrm{2}{x}\:\:\:\mathrm{2}{x}\:\:\:\:\:\:\mathrm{2}{x}}\\{\mathrm{2}{x}\:\:\:\mathrm{1}+\mathrm{2}{x}\:\:\:\:\:\mathrm{2}{x}}\\{\mathrm{0}\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{0}\:\:\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{1}}\end{vmatrix} \\ $$$$\sim\begin{vmatrix}{\mathrm{1}+\mathrm{2}{x}\:\:\:\:\mathrm{2}{x}\:\:\:\:\mathrm{2}{x}}\\{−\mathrm{1}\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{1}\:\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{0}}\\{\mathrm{0}\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{0}\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{1}}\end{vmatrix}.{Now}\:{we}\:{calculate}\:{the}\:{value}\:{of}\:{last}\:{determinant}: \\ $$$$\bigtriangleup=\left(\mathrm{1}+\mathrm{2}{x}\right).\mathrm{1}.\mathrm{1}+\mathrm{2}{x}.\mathrm{0}.\mathrm{0}+\mathrm{0}.\left(−\mathrm{1}\right).\mathrm{2}{x} \\ $$$$−\mathrm{0}.\mathrm{1}.\mathrm{2}{x}−\left(−\mathrm{1}\right).\mathrm{2}{x}.\mathrm{1}−\mathrm{0}.\mathrm{0}.\left(\mathrm{1}+\mathrm{2}{x}\right) \\ $$$$=\mathrm{2}{x}+\mathrm{1}+\mathrm{2}{x}=\mathrm{4}{x}+\mathrm{1} \\ $$$$ \\ $$
Answered by MJS_new last updated on 17/Dec/21
$$\Rightarrow\:\mathrm{4}{x}+\mathrm{1}={x}^{\mathrm{3}} +\mathrm{8}{x}−\mathrm{2} \\ $$$$\Leftrightarrow\:{x}^{\mathrm{3}} +\mathrm{4}{x}−\mathrm{3}=\mathrm{0} \\ $$$${x}=\sqrt[{\mathrm{3}}]{\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{2}}+\frac{\sqrt{\mathrm{1497}}}{\mathrm{18}}}−\sqrt[{\mathrm{3}}]{−\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{2}}+\frac{\sqrt{\mathrm{1497}}}{\mathrm{28}}}\approx.\mathrm{673593058} \\ $$$$\Rightarrow\:\mathrm{true}\:\mathrm{because}\:\mathrm{indeed}\:\exists{x}\in\mathbb{R} \\ $$
Commented by 1549442205PVT last updated on 18/Dec/21
$${Thank}\:{you}\:{Sir}\:{MjsNew},{i}\:{didn}'{t}\:{understand}\:{the}\:{question} \\ $$$${and}\:{give}\:{out}\:{a}\:{wrong}\:{conclusion} \\ $$