Question Number 98104 by bemath last updated on 11/Jun/20
$$\mathrm{Determine}\:\mathrm{the}\:\mathrm{value}\:\mathrm{of}\:\mathrm{x}+\mathrm{y}\: \\ $$$$\mathrm{if}\:\begin{cases}{\mathrm{x}^{\mathrm{3}} +\mathrm{y}^{\mathrm{3}} =\mathrm{1}}\\{\left(\mathrm{x}+\mathrm{y}\right)\left(\mathrm{x}+\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{y}+\mathrm{1}\right)=\mathrm{2}}\end{cases} \\ $$$$ \\ $$
Commented by bemath last updated on 12/Jun/20
$$\mathrm{thank}\:\mathrm{you}\:\mathrm{all}\: \\ $$
Answered by mr W last updated on 11/Jun/20
$${u}={x}+{y} \\ $$$${v}={xy} \\ $$$${x}^{\mathrm{3}} +{y}^{\mathrm{3}} =\left({x}+{y}\right)^{\mathrm{3}} −\mathrm{3}{xy}\left({x}+{y}\right)=\mathrm{1} \\ $$$$\Rightarrow{u}^{\mathrm{3}} −\mathrm{3}{uv}=\mathrm{1} \\ $$$$\Rightarrow{v}=\frac{{u}^{\mathrm{3}} −\mathrm{1}}{\mathrm{3}{u}} \\ $$$$\left({x}+{y}\right)\left({xy}+{x}+{y}+\mathrm{1}\right)=\mathrm{2} \\ $$$$\Rightarrow{u}\left({u}+{v}+\mathrm{1}\right)=\mathrm{2} \\ $$$$\Rightarrow{u}\left({u}+\frac{{u}^{\mathrm{3}} −\mathrm{1}}{\mathrm{3}{u}}+\mathrm{1}\right)=\mathrm{2} \\ $$$$\Rightarrow{u}^{\mathrm{3}} +\mathrm{3}{u}^{\mathrm{2}} +\mathrm{3}{u}−\mathrm{1}=\mathrm{6} \\ $$$$\Rightarrow{u}^{\mathrm{3}} +\mathrm{3}{u}^{\mathrm{2}} +\mathrm{3}{u}+\mathrm{1}=\mathrm{8} \\ $$$$\Rightarrow\left({u}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{3}} =\mathrm{8}=\mathrm{2}^{\mathrm{3}} \\ $$$$\Rightarrow{u}+\mathrm{1}=\mathrm{2},\:\mathrm{2}\omega,\:\mathrm{2}\omega^{\mathrm{2}} \\ $$$$\Rightarrow{u}={x}+{y}=\mathrm{1}\:\left({real}\right) \\ $$$$\Rightarrow{u}={x}+{y}=\mathrm{2}\omega−\mathrm{1}=−\mathrm{2}+{i}\sqrt{\mathrm{3}} \\ $$$$\Rightarrow{u}={x}+{y}=\mathrm{2}\omega^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}=−\mathrm{2}−{i}\sqrt{\mathrm{3}} \\ $$
Commented by Lekhraj last updated on 11/Jun/20
$$\left({u}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{3}} =\mathrm{8} \\ $$
Commented by mr W last updated on 11/Jun/20
$${yes} \\ $$
Answered by Rasheed.Sindhi last updated on 11/Jun/20
$$\mathrm{if}\:\begin{cases}{\mathrm{x}^{\mathrm{3}} +\mathrm{y}^{\mathrm{3}} =\mathrm{1}…………………..\left(\mathrm{i}\right)}\\{\left(\mathrm{x}+\mathrm{y}\right)\left(\mathrm{x}+\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{y}+\mathrm{1}\right)=\mathrm{2}…..\left(\mathrm{ii}\right)}\end{cases} \\ $$$$\left(\mathrm{ii}\right)\Rightarrow \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\mathrm{xy}=\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{x}+\mathrm{y}}−\left(\mathrm{x}+\mathrm{y}\right)−\mathrm{1}…..\left(\mathrm{iii}\right) \\ $$$$\left(\mathrm{i}\right)\Rightarrow \\ $$$$\left(\mathrm{x}+\mathrm{y}\right)^{\mathrm{3}} −\mathrm{3xy}\left(\mathrm{x}+\mathrm{y}\right)=\mathrm{1}……\left(\mathrm{iv}\right) \\ $$$$\left(\mathrm{iii}\right)\&\left(\mathrm{iv}\right)\Rightarrow \\ $$$$\left(\mathrm{x}+\mathrm{y}\right)^{\mathrm{3}} −\mathrm{3}\left(\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{x}+\mathrm{y}}−\left(\mathrm{x}+\mathrm{y}\right)−\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{x}+\mathrm{y}\right)=\mathrm{1} \\ $$$$\left(\mathrm{x}+\mathrm{y}\right)^{\mathrm{3}} −\mathrm{3}\left(\mathrm{2}−\left(\mathrm{x}+\mathrm{y}\right)^{\mathrm{2}} −\left(\mathrm{x}+\mathrm{y}\right)\right)=\mathrm{1} \\ $$$$\left.\left(\mathrm{x}+\mathrm{y}\right)^{\mathrm{3}} −\mathrm{6}+\mathrm{3}\left(\mathrm{x}+\mathrm{y}\right)^{\mathrm{2}} +\mathrm{3}\left(\mathrm{x}+\mathrm{y}\right)\right)=\mathrm{1} \\ $$$$\left(\mathrm{x}+\mathrm{y}\right)^{\mathrm{3}} +\mathrm{3}\left(\mathrm{x}+\mathrm{y}\right)^{\mathrm{2}} +\mathrm{3}\left(\mathrm{x}+\mathrm{y}\right)−\mathrm{7}=\mathrm{0} \\ $$$$\:\:\mathrm{t}^{\mathrm{3}} +\mathrm{3t}^{\mathrm{2}} +\mathrm{3t}−\mathrm{7}=\mathrm{0} \\ $$$$−\mathrm{7}=\left(\pm\mathrm{1}\right)\left(\mp\mathrm{7}\right) \\ $$$$\mathrm{t}=\mathrm{1}\:\mathrm{satisfy}\:\mathrm{the}\:\mathrm{equation} \\ $$$$\mathrm{x}+\mathrm{y}=\mathrm{1} \\ $$$$\therefore\mathrm{t}−\mathrm{1}\:\mathrm{is}\:\mathrm{factor}\:\mathrm{of}\:\:\mathrm{t}^{\mathrm{3}} +\mathrm{3t}^{\mathrm{2}} +\mathrm{3t}−\mathrm{7} \\ $$$$\:\:\:\:\begin{pmatrix}{\left.\mathrm{1}\right)}&{\mathrm{1}}&{\mathrm{3}}&{\mathrm{3}}&{−\mathrm{7}}\\{}&{}&{\mathrm{1}}&{\mathrm{4}}&{\:\:\:\:\mathrm{7}}\\{}&{\mathrm{1}}&{\mathrm{4}}&{\mathrm{7}}&{\:\:\:\:\:\mathrm{0}}\end{pmatrix} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{t}^{\mathrm{2}} +\mathrm{4t}+\mathrm{7}=\mathrm{0} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{t}=\frac{−\mathrm{4}\pm\sqrt{\mathrm{16}−\mathrm{28}}}{\mathrm{2}} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{t}=\frac{−\mathrm{4}\pm\mathrm{2i}\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{2}} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{x}+\mathrm{y}=\frac{−\mathrm{4}\pm\mathrm{2i}\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{2}}=−\mathrm{2}\pm\mathrm{i}\sqrt{\mathrm{3}} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{x}+\mathrm{y}=\mathrm{1},\:−\mathrm{2}\pm\mathrm{i}\sqrt{\mathrm{3}} \\ $$
Answered by 1549442205 last updated on 11/Jun/20
$$\left(\mathrm{2}\right)\Leftrightarrow\left(\mathrm{x}+\mathrm{y}\right)\left[\mathrm{xy}+\left(\mathrm{x}+\mathrm{y}\right)+\mathrm{1}\right]=\mathrm{2} \\ $$$$\left(\mathrm{1}\right)\Leftrightarrow\left(\mathrm{x}+\mathrm{y}\right)^{\mathrm{3}} −\mathrm{3xy}\left(\mathrm{x}+\mathrm{y}\right)=\mathrm{1} \\ $$$$\mathrm{Put}\:\mathrm{x}+\mathrm{y}=\mathrm{u},\mathrm{xy}=\mathrm{v}\:\mathrm{we}\:\mathrm{have\begin{cases}{\mathrm{u}^{\mathrm{3}} −\mathrm{3uv}=\mathrm{1}\left(\mathrm{3}\right)}\\{\mathrm{u}\left(\mathrm{u}+\mathrm{v}+\mathrm{1}\right)=\mathrm{2}\left(\mathrm{4}\right)}\end{cases}} \\ $$$$\mathrm{From}\:\left(\mathrm{4}\right)\:\mathrm{we}\:\mathrm{ger}\:\mathrm{uv}=\mathrm{2}−\mathrm{u}^{\mathrm{2}} −\mathrm{u}.\mathrm{Replace}\:\mathrm{into}\:\left(\mathrm{3}\right)\:\mathrm{we}\:\mathrm{get} \\ $$$$\mathrm{u}^{\mathrm{3}} −\mathrm{3}\left(\mathrm{2}−\mathrm{u}^{\mathrm{2}} −\mathrm{u}\right)=\mathrm{1}\Leftrightarrow\mathrm{u}^{\mathrm{3}} +\mathrm{3u}^{\mathrm{2}} +\mathrm{3u}−\mathrm{7}=\mathrm{9} \\ $$$$\Leftrightarrow\left(\mathrm{u}−\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{u}^{\mathrm{2}} +\mathrm{4u}+\mathrm{7}\right)=\mathrm{0}\Leftrightarrow\mathrm{u}−\mathrm{1}=\mathrm{0}\left(\mathrm{as}\:\mathrm{u}^{\mathrm{2}} +\mathrm{4u}+\mathrm{7}=\left(\mathrm{u}+\mathrm{2}\right)^{\mathrm{2}} +\mathrm{3}>\mathrm{0}\right) \\ $$$$,\mathrm{so}\:\mathrm{u}=\mathrm{1},\mathrm{replace}\:\mathrm{into}\:\left(\mathrm{4}\right)\:\mathrm{we}\:\mathrm{get}\:\mathrm{v}=\mathrm{0}.\mathrm{We}\:\mathrm{have} \\ $$$$\begin{cases}{\mathrm{x}+\mathrm{y}=\mathrm{1}}\\{\mathrm{xy}=\mathrm{0}}\end{cases}\Leftrightarrow\left(\mathrm{x};\mathrm{y}\right)\in\left\{\left(\mathrm{0};\mathrm{1}\right);\left(\mathrm{1};\mathrm{0}\right)\right\} \\ $$$$\mathrm{Thus},\mathrm{our}\:\mathrm{system}\:\mathrm{of}\:\mathrm{equations}\:\mathrm{has}\:\mathrm{two} \\ $$$$\mathrm{soluions}:\left(\boldsymbol{\mathrm{x}};\boldsymbol{\mathrm{y}}\right)\in\left\{\left(\mathrm{0};\mathrm{1}\right);\left(\mathrm{1};\mathrm{0}\right)\right\} \\ $$$$ \\ $$
Answered by MJS last updated on 11/Jun/20
$${x}={u}−{v}\wedge{y}={u}+{v} \\ $$$$\begin{cases}{\mathrm{2}{u}^{\mathrm{3}} +\mathrm{6}{uv}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}=\mathrm{0}}\\{\mathrm{2}\left({u}^{\mathrm{3}} +\mathrm{2}{u}^{\mathrm{2}} +{u}−\mathrm{1}\right)−\mathrm{2}{uv}^{\mathrm{2}} =\mathrm{0}}\end{cases} \\ $$$$\Rightarrow \\ $$$${v}^{\mathrm{2}} =\frac{\mathrm{1}−\mathrm{2}{u}^{\mathrm{3}} }{\mathrm{6}{u}}=\frac{{u}^{\mathrm{3}} +\mathrm{2}{u}^{\mathrm{2}} +{u}−\mathrm{1}}{{u}} \\ $$$$\Rightarrow \\ $$$${u}^{\mathrm{3}} +\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{2}}{u}^{\mathrm{2}} +\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{4}}{u}−\frac{\mathrm{7}}{\mathrm{8}}=\mathrm{0} \\ $$$${u}={t}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}} \\ $$$${t}^{\mathrm{3}} −\mathrm{1}=\mathrm{0} \\ $$$${t}=\mathrm{1}\vee{t}=−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\pm\frac{\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{2}}\mathrm{i} \\ $$$${u}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\vee{u}=−\mathrm{1}\pm\frac{\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{2}}\mathrm{i} \\ $$$${x}={u}−{v}\wedge{y}={u}+{v}\:\Rightarrow\:{x}+{y}=\mathrm{2}{u} \\ $$$$\mathrm{answer}\:\mathrm{is}\:\mathrm{1}\vee−\mathrm{2}\pm\sqrt{\mathrm{3}}\mathrm{i} \\ $$
Answered by maths mind last updated on 11/Jun/20
$$\left({x}+{y}\right)\left({x}+\mathrm{1}\right)\left({y}+\mathrm{1}\right) \\ $$$$=\left({x}+{y}\right)\left({xy}+{x}+{y}+\mathrm{1}\right) \\ $$$$=\left\{{xy}\left({x}+{y}\right)+\left({x}+{y}\right)^{\mathrm{2}} +\left({x}+{y}\right)=\mathrm{2}\right\}×\mathrm{3}..{E} \\ $$$${x}^{\mathrm{3}} +{y}^{\mathrm{3}} =\mathrm{1}..{G} \\ $$$${E}+{G}=\left({x}+{y}\right)^{\mathrm{3}} +\mathrm{3}\left({x}+{y}\right)^{\mathrm{2}} +\mathrm{3}\left({x}+{y}\right)=\mathrm{7} \\ $$$$\Leftrightarrow\left({x}+{y}\right)^{\mathrm{3}} +\mathrm{3}\left({x}+{y}\right)^{\mathrm{2}} +\mathrm{3}\left({x}+{y}\right)+\mathrm{1}=\mathrm{8} \\ $$$$\Leftrightarrow\left(\mathrm{1}+{x}+{y}\right)^{\mathrm{3}} =\mathrm{8}\Rightarrow\mathrm{1}+{x}+{y}=\mathrm{2}{e}^{{i}\frac{\mathrm{2}{k}\pi}{\mathrm{3}}} \\ $$$$\Rightarrow{x}+{y}=\mathrm{2}{e}^{{i}\frac{{k}\pi}{\mathrm{3}}} −\mathrm{1},{k}\in\left\{\mathrm{0},\mathrm{1},\mathrm{2}\right\} \\ $$$$ \\ $$