Question Number 106691 by Laplace last updated on 06/Aug/20
$$\boldsymbol{{determine}}\:\boldsymbol{{using}}\:\:\boldsymbol{{laplce}}\:\boldsymbol{{transformation}}\:\boldsymbol{{this}} \\ $$$$\boldsymbol{{integrale}}\: \\ $$$$\:\:\int_{\mathrm{0}} ^{+\infty} \frac{\boldsymbol{{tsin}}\left(\boldsymbol{{tx}}\right)}{\boldsymbol{{a}}^{\mathrm{2}} +\boldsymbol{{t}}^{\mathrm{2}\:} }\boldsymbol{{dt}} \\ $$
Answered by mathmax by abdo last updated on 06/Aug/20
![f_a (x) =∫_0 ^∞ ((tsin(tx))/(a^2 +t^2 )) dt ⇒f_a (x) =∫_0 ^∞ tsin(tx)∫_0 ^∞ e^(−(a^2 +t^2 )x) dx dt =∫_0 ^∞ (∫_0 ^∞ sin(tx)e^(−(a^2 +t^2 )x) dx)tdt (by use of fubini) ∫_0 ^∞ sin(tx) e^(−(a^2 +t^2 )x) dx =Im(∫_0 ^∞ e^(itx−(a^2 +t^2 )x) dx) and ∫_0 ^∞ e^((it−(a^2 +t^2 ))x) dx =[(1/(it−(a^2 +t^2 ))) e^((it−(a^2 +t^2 ))x) ]_0 ^∞ =((−1)/(it−(a^2 +t^2 ))) =(1/((a^2 +t^2 )−it)) =((a^2 +t^2 +it)/((a^2 +t^2 )^2 +t^2 )) ⇒ Im(...) =(t/((a^2 +t^2 )^2 +t^2 )) ⇒ f_a (x) =∫_0 ^∞ (t^2 /((a^2 +t^2 )^2 +t^2 )) dt =∫_0 ^∞ (t^2 /((a^4 +2a^2 t^2 +t^4 +t^2 ))dt =∫_0 ^∞ (t^2 /(t^4 +(2a^2 +1)t^2 +a^4 )) dt =(1/2)∫_(−∞) ^(+∞) (t^2 /(t^4 +(2a^2 +1)t^2 +a^4 )) dt let ϕ(z) =(z^2 /(z^4 +(2a^2 +1)z^2 +a^4 )) poles of ϕ? Δ =(2a^2 +1)^2 −4a^4 =4a^4 +4a^2 +1−4a^4 =4a^2 +1 (z^2 =u) u_1 =((−(2a^2 +1)+(√(4a^2 +1)))/2) and u_2 =((−(2a^2 +1)−(√(4a^2 +1)))/2) ⇒ϕ(z) =(z^2 /((z^2 −u_1 )(z^2 −u_2 ))) =(z^2 /((z−(√u_1 ))(z+(√u_1 ))(z−(√u_2 ))(z+(√u_2 )))) (√u_1 )=i(√((2a^(2 ) +1−(√(4a^2 +1)))/2)) and (√u_2 )=i(√((2a^2 +1+(√(4a^2 +1)))/2)) ...be continued...](https://www.tinkutara.com/question/Q106723.png)
$$\mathrm{f}_{\mathrm{a}} \left(\mathrm{x}\right)\:=\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \:\frac{\mathrm{tsin}\left(\mathrm{tx}\right)}{\mathrm{a}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{t}^{\mathrm{2}} }\:\mathrm{dt}\:\Rightarrow\mathrm{f}_{\mathrm{a}} \left(\mathrm{x}\right)\:=\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \:\mathrm{tsin}\left(\mathrm{tx}\right)\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \mathrm{e}^{−\left(\mathrm{a}^{\mathrm{2}} +\mathrm{t}^{\mathrm{2}} \right)\mathrm{x}} \mathrm{dx}\:\mathrm{dt} \\ $$$$=\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \:\left(\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \mathrm{sin}\left(\mathrm{tx}\right)\mathrm{e}^{−\left(\mathrm{a}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{t}^{\mathrm{2}} \right)\mathrm{x}} \mathrm{dx}\right)\mathrm{tdt}\:\left(\mathrm{by}\:\mathrm{use}\:\mathrm{of}\:\mathrm{fubini}\right) \\ $$$$\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \:\mathrm{sin}\left(\mathrm{tx}\right)\:\mathrm{e}^{−\left(\mathrm{a}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{t}^{\mathrm{2}} \right)\mathrm{x}} \:\mathrm{dx}\:=\mathrm{Im}\left(\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \:\mathrm{e}^{\mathrm{itx}−\left(\mathrm{a}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{t}^{\mathrm{2}} \right)\mathrm{x}} \:\mathrm{dx}\right)\:\mathrm{and} \\ $$$$\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \:\mathrm{e}^{\left(\mathrm{it}−\left(\mathrm{a}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{t}^{\mathrm{2}} \right)\right)\mathrm{x}} \mathrm{dx}\:=\left[\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{it}−\left(\mathrm{a}^{\mathrm{2}} +\mathrm{t}^{\mathrm{2}} \right)}\:\mathrm{e}^{\left(\mathrm{it}−\left(\mathrm{a}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{t}^{\mathrm{2}} \right)\right)\mathrm{x}} \right]_{\mathrm{0}} ^{\infty} \\ $$$$=\frac{−\mathrm{1}}{\mathrm{it}−\left(\mathrm{a}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{t}^{\mathrm{2}} \right)}\:=\frac{\mathrm{1}}{\left(\mathrm{a}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{t}^{\mathrm{2}} \right)−\mathrm{it}}\:=\frac{\mathrm{a}^{\mathrm{2}} +\mathrm{t}^{\mathrm{2}} +\mathrm{it}}{\left(\mathrm{a}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{t}^{\mathrm{2}} \right)^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{t}^{\mathrm{2}} }\:\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{Im}\left(…\right)\:=\frac{\mathrm{t}}{\left(\mathrm{a}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{t}^{\mathrm{2}} \right)^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{t}^{\mathrm{2}} }\:\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{f}_{\mathrm{a}} \left(\mathrm{x}\right)\:=\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \:\:\frac{\mathrm{t}^{\mathrm{2}} }{\left(\mathrm{a}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{t}^{\mathrm{2}} \right)^{\mathrm{2}} +\mathrm{t}^{\mathrm{2}} }\:\mathrm{dt}\:=\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \:\frac{\mathrm{t}^{\mathrm{2}} }{\left(\mathrm{a}^{\mathrm{4}} +\mathrm{2a}^{\mathrm{2}} \mathrm{t}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{t}^{\mathrm{4}} \:+\mathrm{t}^{\mathrm{2}} \right.}\mathrm{dt} \\ $$$$=\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \:\frac{\mathrm{t}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{t}^{\mathrm{4}} \:+\left(\mathrm{2a}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{1}\right)\mathrm{t}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{a}^{\mathrm{4}} }\:\mathrm{dt}\:=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\int_{−\infty} ^{+\infty} \:\frac{\mathrm{t}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{t}^{\mathrm{4}} \:+\left(\mathrm{2a}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{1}\right)\mathrm{t}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{a}^{\mathrm{4}} }\:\mathrm{dt} \\ $$$$\mathrm{let}\:\varphi\left(\mathrm{z}\right)\:=\frac{\mathrm{z}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{z}^{\mathrm{4}} \:+\left(\mathrm{2a}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{1}\right)\mathrm{z}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{a}^{\mathrm{4}} }\:\:\mathrm{poles}\:\mathrm{of}\:\varphi? \\ $$$$\Delta\:=\left(\mathrm{2a}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} −\mathrm{4a}^{\mathrm{4}} \:=\mathrm{4a}^{\mathrm{4}} +\mathrm{4a}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{1}−\mathrm{4a}^{\mathrm{4}} \:=\mathrm{4a}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{1}\:\:\left(\mathrm{z}^{\mathrm{2}} \:=\mathrm{u}\right) \\ $$$$\mathrm{u}_{\mathrm{1}} =\frac{−\left(\mathrm{2a}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{1}\right)+\sqrt{\mathrm{4a}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{1}}}{\mathrm{2}}\:\:\mathrm{and}\:\mathrm{u}_{\mathrm{2}} =\frac{−\left(\mathrm{2a}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{1}\right)−\sqrt{\mathrm{4a}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{1}}}{\mathrm{2}} \\ $$$$\Rightarrow\varphi\left(\mathrm{z}\right)\:=\frac{\mathrm{z}^{\mathrm{2}} }{\left(\mathrm{z}^{\mathrm{2}} −\mathrm{u}_{\mathrm{1}} \right)\left(\mathrm{z}^{\mathrm{2}} −\mathrm{u}_{\mathrm{2}} \right)}\:=\frac{\mathrm{z}^{\mathrm{2}} }{\left(\mathrm{z}−\sqrt{\mathrm{u}_{\mathrm{1}} }\right)\left(\mathrm{z}+\sqrt{\mathrm{u}_{\mathrm{1}} }\right)\left(\mathrm{z}−\sqrt{\mathrm{u}_{\mathrm{2}} }\right)\left(\mathrm{z}+\sqrt{\mathrm{u}_{\mathrm{2}} }\right)} \\ $$$$\sqrt{\mathrm{u}_{\mathrm{1}} }=\mathrm{i}\sqrt{\frac{\mathrm{2a}^{\mathrm{2}\:} +\mathrm{1}−\sqrt{\mathrm{4a}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{1}}}{\mathrm{2}}}\:\mathrm{and}\:\sqrt{\mathrm{u}_{\mathrm{2}} }=\mathrm{i}\sqrt{\frac{\mathrm{2a}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{1}+\sqrt{\mathrm{4a}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{1}}}{\mathrm{2}}} \\ $$$$…\mathrm{be}\:\mathrm{continued}… \\ $$
Commented by Ar Brandon last updated on 06/Aug/20
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Answered by abdomathmax last updated on 07/Aug/20
$$\mathrm{residus}\:\mathrm{method}\:\:\mathrm{let}\:\mathrm{I}\:=\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \:\frac{\mathrm{tsin}\left(\mathrm{tx}\right)}{\mathrm{t}^{\mathrm{2}} +\mathrm{a}^{\mathrm{2}} }\mathrm{dt} \\ $$$$\Rightarrow\:\mathrm{I}\:=_{\mathrm{t}=\mid\mathrm{a}\mid\mathrm{u}} \:\:\:\:\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \:\frac{\mid\mathrm{a}\mid\mathrm{usin}\left(\mid\mathrm{a}\mid\mathrm{ux}\right)}{\mathrm{a}^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{u}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{1}\right)}\mid\mathrm{a}\mid\:\mathrm{du} \\ $$$$=\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \:\:\frac{\mathrm{u}\:\mathrm{sin}\left(\mathrm{x}\mid\mathrm{a}\mid\mathrm{u}\right)}{\mathrm{u}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{1}}\:=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\int_{−\infty} ^{+\infty} \:\frac{\mathrm{u}\:\mathrm{sin}\left(\mathrm{x}\mid\mathrm{a}\mid\mathrm{u}\right)}{\mathrm{u}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{1}}\mathrm{du} \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{Im}\left(\int_{−\infty} ^{+\infty} \:\frac{\mathrm{u}\:\mathrm{e}^{\mathrm{ix}\mid\mathrm{a}\mid\mathrm{u}} }{\mathrm{u}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{1}}\mathrm{du}\right)\:\mathrm{let}\:\:\varphi\left(\mathrm{z}\right)=\frac{\mathrm{z}\:\mathrm{e}^{\mathrm{ix}\mid\mathrm{a}\mid\mathrm{z}} }{\mathrm{z}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{1}} \\ $$$$\int_{−\infty} ^{+\infty} \:\varphi\left(\mathrm{z}\right)\mathrm{dx}\:=\mathrm{2i}\pi\:\mathrm{Res}\left(\varphi,\mathrm{i}\right)\:=\mathrm{2i}\pi×\frac{\mathrm{ie}^{−\mathrm{x}\mid\mathrm{a}\mid} }{\mathrm{2i}} \\ $$$$=\mathrm{i}\pi\:\mathrm{e}^{−\mathrm{x}\mid\mathrm{a}\mid} \:\Rightarrow\mathrm{I}\:=\frac{\pi}{\mathrm{2}}\:\mathrm{e}^{−\mathrm{x}\mid\mathrm{a}\mid} \\ $$