Question Number 147405 by tabata last updated on 20/Jul/21
$${detirmine}\:{the}\:{residues}\:{f}\left({z}\right)=\frac{{cosz}}{{z}^{\mathrm{2}} \left({z}−\pi\right)^{\mathrm{3}} } \\ $$
Commented by Mrsof last updated on 20/Jul/21
$$??? \\ $$
Answered by mathmax by abdo last updated on 20/Jul/21
$$\mathrm{f}\left(\mathrm{z}\right)=\frac{\mathrm{cosz}}{\mathrm{z}^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{z}−\pi\right)^{\mathrm{3}} }\:\:\mathrm{the}\:\mathrm{poles}\:\mathrm{are}\:\mathrm{o}\:\mathrm{and}\:\pi \\ $$$$\mathrm{Res}\left(\mathrm{f},\mathrm{0}\right)=\mathrm{lim}_{\mathrm{z}\rightarrow\mathrm{0}} \:\:\frac{\mathrm{1}}{\left(\mathrm{2}−\mathrm{1}\right)!}\left\{\mathrm{z}^{\mathrm{2}} \mathrm{f}\left(\mathrm{z}\right)\right\}^{\left(\mathrm{1}\right)} \\ $$$$=\mathrm{lim}_{\mathrm{z}\rightarrow\mathrm{o}} \:\:\:\left\{\frac{\mathrm{cosz}}{\left(\mathrm{z}−\pi\right)^{\mathrm{3}} }\right\}^{\left(\mathrm{1}\right)} \:=\mathrm{lim}_{\mathrm{z}\rightarrow\mathrm{0}} \:\:\frac{−\mathrm{sinz}\left(\mathrm{z}−\pi\right)^{\mathrm{3}} −\mathrm{3}\left(\mathrm{z}−\pi\right)^{\mathrm{2}} \mathrm{cosz}}{\left(\mathrm{z}−\pi\right)^{\mathrm{6}} } \\ $$$$=\mathrm{lim}_{\mathrm{z}\rightarrow\mathrm{0}} \:\:\:\:\frac{−\mathrm{sinz}\left(\mathrm{z}−\pi\right)−\mathrm{3cosz}}{\left(\mathrm{z}−\pi\right)^{\mathrm{4}} }=\frac{−\mathrm{3}}{\pi^{\mathrm{4}} } \\ $$$$\mathrm{Res}\left(\mathrm{f},\pi\right)=\mathrm{lim}_{\mathrm{z}\rightarrow\pi} \:\:\frac{\mathrm{1}}{\left(\mathrm{3}−\mathrm{1}\right)!}\left\{\left(\mathrm{z}−\pi\right)^{\mathrm{3}} \mathrm{f}\left(\mathrm{z}\right)\right\}^{\left(\mathrm{2}\right)} \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{lim}_{\mathrm{z}\rightarrow\pi} \left\{\frac{\mathrm{cosz}}{\mathrm{z}^{\mathrm{2}} }\right\}^{\left(\mathrm{2}\right)} \:=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{lim}_{\mathrm{z}\rightarrow\pi} \:\:\left\{\frac{−\mathrm{z}^{\mathrm{2}} \mathrm{sinz}−\mathrm{2zcosz}}{\mathrm{z}^{\mathrm{4}} }\right\}^{\left(\mathrm{1}\right)} \\ $$$$=−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{lim}_{\mathrm{z}\rightarrow\pi} \:\:\left\{\frac{\mathrm{zsinz}+\mathrm{2cosz}}{\mathrm{z}^{\mathrm{3}} }\right\}^{\left(\mathrm{1}\right)} \\ $$$$=−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{lim}_{\mathrm{z}\rightarrow\pi} \:\:\:\frac{\left(\mathrm{sinz}+\mathrm{zcosz}−\mathrm{2sinz}\right)\mathrm{z}^{\mathrm{3}} −\mathrm{3z}^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{zsinz}+\mathrm{2cosz}\right)}{\mathrm{z}^{\mathrm{6}} } \\ $$$$=−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{lim}_{\mathrm{z}\rightarrow\pi} \:\:\:\frac{\left(\mathrm{zcosz}−\mathrm{sinz}\right)\mathrm{z}−\mathrm{3}\left(\mathrm{zsinz}+\mathrm{2cosz}\right)}{\mathrm{z}^{\mathrm{4}} } \\ $$$$=−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}×\frac{\left(−\pi\right)\pi−\mathrm{3}\left(−\mathrm{2}\right)}{\pi^{\mathrm{4}} }=−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}×\frac{−\pi^{\mathrm{2}} +\mathrm{6}}{\pi^{\mathrm{4}} } \\ $$$$=\frac{\pi^{\mathrm{2}} −\mathrm{6}}{\mathrm{2}\pi^{\mathrm{4}} } \\ $$