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developp-at-fourier-serie-g-x-2-3-sin-2-x-

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Question Number 98185 by abdomathmax last updated on 12/Jun/20
developp at fourier serie g(x) =(2/(3+sin^2 x))
$$\mathrm{developp}\:\mathrm{at}\:\mathrm{fourier}\:\mathrm{serie} \\ $$$$\mathrm{g}\left(\mathrm{x}\right)\:=\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{3}+\mathrm{sin}^{\mathrm{2}} \mathrm{x}} \\ $$
Answered by mathmax by abdo last updated on 12/Jun/20
g(x) =(2/(3+sin^2 x)) =(2/(3+((1−cos(2x))/2))) =(4/(7−cos(2x))) =(4/(7−((e^(i2x) +e^(−i2x) )/2))) =(8/(14−e^(2ix) −e^(−2ix) )) =_(e^(2ix) =z) (8/(14−z−z^(−1) )) =((8z)/(14z−z^2 −1)) =((−8z)/(z^2 −14z +1))=h(z) z^2 −14z +1 =0→Δ^′ =7^2 −1 =48 ⇒z_1 =7+(√(48))=7+4(√3) z_2 =7−4(√(3 )) so ((−8z)/(z^2 −14z+1)) =((−8z)/((z−z_1 )(z−z_2 ))) =(a/(z−z_1 )) +(b/(z−z_2 )) a =((−8z_1 )/(8(√3))) =−((7+4(√3))/( (√3))) =−(7/( (√3))) +4 b =((−8z_2 )/(−8(√3))) =((7−4(√3))/( (√3))) =(7/( (√3)))−4 ⇒h(z)=((−a)/(z_1 −z))−(b/(z_2 −z)) =((−a)/(z_1 (1−(z/z_1 ))))−(b/(z_2 (1−(z/z_2 )))) so for ∣z∣ <inf(∣z_1 ∣,∣z_2 ∣) h(z) =−(a/z_1 )Σ_(n=0) ^∞ (z^n /z_1 ^n )−(b/z_2 ) Σ_(n=0) ^∞ (z^n /z_2 ^n ) =−(a/z_1 ) Σ_(n=0) ^∞ (1/z_1 ^n )e^(2inx) −(b/z_2 ) Σ_(n=0) ^∞ (1/z_2 ^n ) e^(2inx) =−Σ_(n=0) ^∞ ( (a/z_1 ^(n+1) ) +(b/z_2 ^(n+1) ))e^(2inx) =g(x)
$$\mathrm{g}\left(\mathrm{x}\right)\:=\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{3}+\mathrm{sin}^{\mathrm{2}} \mathrm{x}}\:=\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{3}+\frac{\mathrm{1}−\mathrm{cos}\left(\mathrm{2x}\right)}{\mathrm{2}}}\:=\frac{\mathrm{4}}{\mathrm{7}−\mathrm{cos}\left(\mathrm{2x}\right)}\:=\frac{\mathrm{4}}{\mathrm{7}−\frac{\mathrm{e}^{\mathrm{i2x}} +\mathrm{e}^{−\mathrm{i2x}} }{\mathrm{2}}} \\ $$$$=\frac{\mathrm{8}}{\mathrm{14}−\mathrm{e}^{\mathrm{2ix}} −\mathrm{e}^{−\mathrm{2ix}} }\:\:=_{\mathrm{e}^{\mathrm{2ix}} =\mathrm{z}} \:\:\:\:\frac{\mathrm{8}}{\mathrm{14}−\mathrm{z}−\mathrm{z}^{−\mathrm{1}} }\:=\frac{\mathrm{8z}}{\mathrm{14z}−\mathrm{z}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}}\:=\frac{−\mathrm{8z}}{\mathrm{z}^{\mathrm{2}} −\mathrm{14z}\:+\mathrm{1}}=\mathrm{h}\left(\mathrm{z}\right) \\ $$$$\mathrm{z}^{\mathrm{2}} −\mathrm{14z}\:+\mathrm{1}\:=\mathrm{0}\rightarrow\Delta^{'} \:=\mathrm{7}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}\:=\mathrm{48}\:\Rightarrow\mathrm{z}_{\mathrm{1}} =\mathrm{7}+\sqrt{\mathrm{48}}=\mathrm{7}+\mathrm{4}\sqrt{\mathrm{3}} \\ $$$$\mathrm{z}_{\mathrm{2}} =\mathrm{7}−\mathrm{4}\sqrt{\mathrm{3}\:}\:\mathrm{so}\:\:\frac{−\mathrm{8z}}{\mathrm{z}^{\mathrm{2}} −\mathrm{14z}+\mathrm{1}}\:=\frac{−\mathrm{8z}}{\left(\mathrm{z}−\mathrm{z}_{\mathrm{1}} \right)\left(\mathrm{z}−\mathrm{z}_{\mathrm{2}} \right)}\:=\frac{\mathrm{a}}{\mathrm{z}−\mathrm{z}_{\mathrm{1}} }\:+\frac{\mathrm{b}}{\mathrm{z}−\mathrm{z}_{\mathrm{2}} } \\ $$$$\mathrm{a}\:=\frac{−\mathrm{8z}_{\mathrm{1}} }{\mathrm{8}\sqrt{\mathrm{3}}}\:=−\frac{\mathrm{7}+\mathrm{4}\sqrt{\mathrm{3}}}{\:\sqrt{\mathrm{3}}}\:=−\frac{\mathrm{7}}{\:\sqrt{\mathrm{3}}}\:+\mathrm{4} \\ $$$$\mathrm{b}\:=\frac{−\mathrm{8z}_{\mathrm{2}} }{−\mathrm{8}\sqrt{\mathrm{3}}}\:=\frac{\mathrm{7}−\mathrm{4}\sqrt{\mathrm{3}}}{\:\sqrt{\mathrm{3}}}\:=\frac{\mathrm{7}}{\:\sqrt{\mathrm{3}}}−\mathrm{4}\:\Rightarrow\mathrm{h}\left(\mathrm{z}\right)=\frac{−\mathrm{a}}{\mathrm{z}_{\mathrm{1}} −\mathrm{z}}−\frac{\mathrm{b}}{\mathrm{z}_{\mathrm{2}} −\mathrm{z}}\:=\frac{−\mathrm{a}}{\mathrm{z}_{\mathrm{1}} \left(\mathrm{1}−\frac{\mathrm{z}}{\mathrm{z}_{\mathrm{1}} }\right)}−\frac{\mathrm{b}}{\mathrm{z}_{\mathrm{2}} \left(\mathrm{1}−\frac{\mathrm{z}}{\mathrm{z}_{\mathrm{2}} }\right)} \\ $$$$\mathrm{so}\:\mathrm{for}\:\mid\mathrm{z}\mid\:<\mathrm{inf}\left(\mid\mathrm{z}_{\mathrm{1}} \mid,\mid\mathrm{z}_{\mathrm{2}} \mid\right)\:\:\mathrm{h}\left(\mathrm{z}\right)\:=−\frac{\mathrm{a}}{\mathrm{z}_{\mathrm{1}} }\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{0}} ^{\infty} \:\frac{\mathrm{z}^{\mathrm{n}} }{\mathrm{z}_{\mathrm{1}} ^{\mathrm{n}} }−\frac{\mathrm{b}}{\mathrm{z}_{\mathrm{2}} }\:\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{0}} ^{\infty} \:\frac{\mathrm{z}^{\mathrm{n}} }{\mathrm{z}_{\mathrm{2}} ^{\mathrm{n}} } \\ $$$$=−\frac{\mathrm{a}}{\mathrm{z}_{\mathrm{1}} }\:\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{0}} ^{\infty} \:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{z}_{\mathrm{1}} ^{\mathrm{n}} }\mathrm{e}^{\mathrm{2inx}} \:−\frac{\mathrm{b}}{\mathrm{z}_{\mathrm{2}} }\:\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{0}} ^{\infty} \:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{z}_{\mathrm{2}} ^{\mathrm{n}} }\:\mathrm{e}^{\mathrm{2inx}} \\ $$$$=−\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{0}} ^{\infty} \left(\:\frac{\mathrm{a}}{\mathrm{z}_{\mathrm{1}} ^{\mathrm{n}+\mathrm{1}} }\:+\frac{\mathrm{b}}{\mathrm{z}_{\mathrm{2}} ^{\mathrm{n}+\mathrm{1}} }\right)\mathrm{e}^{\mathrm{2inx}} \:=\mathrm{g}\left(\mathrm{x}\right) \\ $$

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