Question Number 127851 by bemath last updated on 02/Jan/21
$$\:\psi\:=\:\int\:\frac{\mathrm{dx}}{\mathrm{x}^{\mathrm{3}} \:\sqrt[{\mathrm{5}}]{\left(\mathrm{x}^{\mathrm{5}} +\mathrm{1}\right)^{\mathrm{3}} }}\:?\: \\ $$
Answered by liberty last updated on 02/Jan/21
$$\:\psi\:=\:\int\:\frac{\mathrm{dx}}{\mathrm{x}^{\mathrm{3}} \:\sqrt[{\mathrm{5}}]{\mathrm{x}^{\mathrm{15}} \left(\mathrm{1}+\mathrm{x}^{−\mathrm{5}} \right)^{\mathrm{3}} }} \\ $$$$\:\psi\:=\:\int\:\frac{\mathrm{dx}}{\mathrm{x}^{\mathrm{6}} \:\sqrt[{\mathrm{5}}]{\left(\mathrm{1}+\mathrm{x}^{−\mathrm{5}} \right)^{\mathrm{3}} }}\:=\:\int\:\frac{\mathrm{x}^{−\mathrm{6}} \:\mathrm{dx}}{\:\sqrt[{\mathrm{5}}]{\left(\mathrm{1}+\mathrm{x}^{−\mathrm{5}} \right)^{\mathrm{3}} }} \\ $$$$\:\mathrm{let}\:\mathrm{t}\:=\:\mathrm{1}+\mathrm{x}^{−\mathrm{5}} \:\Rightarrow\mathrm{dt}=−\mathrm{5x}^{−\mathrm{6}} \:\mathrm{dx} \\ $$$$\:\psi\:=\:−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{5}}\int\:\frac{\mathrm{dt}}{\mathrm{t}^{\mathrm{3}/\mathrm{5}} }\:=\:−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{5}}\int\:\mathrm{t}^{−\mathrm{3}/\mathrm{5}} \:\mathrm{dt}\: \\ $$$$\:\psi\:=−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{5}}.\:\frac{\mathrm{5}}{\mathrm{2}}\:\mathrm{t}^{\mathrm{2}/\mathrm{5}} \:+\:\mathrm{C}\:=−\frac{\sqrt[{\mathrm{5}}]{\left(\mathrm{x}^{\mathrm{5}} +\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }}{\mathrm{2x}^{\mathrm{2}} }\:\:+\mathrm{C} \\ $$