dx-x-6-x-3-

Question Number 118959 by bramlexs22 last updated on 21/Oct/20

$$\:\int\:\frac{{dx}}{{x}^{\mathrm{6}} −{x}^{\mathrm{3}} }\:? \\ $$

Answered by Dwaipayan Shikari last updated on 21/Oct/20

∫(1/(x^3 −1))−∫(1/x^3 ) =∫(1/x)((1/(x−1))−((x−1)/(x^2 +x+1)))+(1/(2x^2 ))dx =∫(1/(x(x−1)))−((x−1)/(x(x^2 +x+1)))dx+(1/(2x^2 )) =log(((x−1)/x))−∫(1/(x^2 +x+1))+∫(1/(x(x^2 +x+1)))+(1/(2x^2 )) =log(((x−1)/x))+(1/(2x^2 ))+∫(1/x)−((x+1)/(x^2 +x+1))−∫(1/(x^2 +x+1))dx =log(x−1)+(1/(2x^2 ))−∫((x+2)/(x^2 +x+1))dx =log(x−1)+(1/(2x^2 ))−(1/2)∫((2x+1)/(x^2 +x+1))−(3/2)∫(1/(x^2 +x+1)) =log(x−1)−(1/2)log(x^2 +x+1)+(1/(2x^2 ))−(3/2)∫(1/((x+(1/2))^2 +(((√3)/2))^2 ))dx =log(((x−1)/( (√(x^2 +x+1)))))+(1/(2x^2 ))−(1/( (√3)))tan^(−1) ((2x+1)/( (√3)))+C

$$\int\frac{\mathrm{1}}{{x}^{\mathrm{3}} −\mathrm{1}}−\int\frac{\mathrm{1}}{{x}^{\mathrm{3}} } \\ $$$$=\int\frac{\mathrm{1}}{{x}}\left(\frac{\mathrm{1}}{{x}−\mathrm{1}}−\frac{{x}−\mathrm{1}}{{x}^{\mathrm{2}} +{x}+\mathrm{1}}\right)+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}{x}^{\mathrm{2}} }{dx} \\ $$$$=\int\frac{\mathrm{1}}{{x}\left({x}−\mathrm{1}\right)}−\frac{{x}−\mathrm{1}}{{x}\left({x}^{\mathrm{2}} +{x}+\mathrm{1}\right)}{dx}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}{x}^{\mathrm{2}} } \\ $$$$={log}\left(\frac{{x}−\mathrm{1}}{{x}}\right)−\int\frac{\mathrm{1}}{{x}^{\mathrm{2}} +{x}+\mathrm{1}}+\int\frac{\mathrm{1}}{{x}\left({x}^{\mathrm{2}} +{x}+\mathrm{1}\right)}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}{x}^{\mathrm{2}} } \\ $$$$={log}\left(\frac{{x}−\mathrm{1}}{{x}}\right)+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}{x}^{\mathrm{2}} }+\int\frac{\mathrm{1}}{{x}}−\frac{{x}+\mathrm{1}}{{x}^{\mathrm{2}} +{x}+\mathrm{1}}−\int\frac{\mathrm{1}}{{x}^{\mathrm{2}} +{x}+\mathrm{1}}{dx} \\ $$$$={log}\left({x}−\mathrm{1}\right)+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}{x}^{\mathrm{2}} }−\int\frac{{x}+\mathrm{2}}{{x}^{\mathrm{2}} +{x}+\mathrm{1}}{dx} \\ $$$$={log}\left({x}−\mathrm{1}\right)+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}{x}^{\mathrm{2}} }−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\int\frac{\mathrm{2}{x}+\mathrm{1}}{{x}^{\mathrm{2}} +{x}+\mathrm{1}}−\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{2}}\int\frac{\mathrm{1}}{{x}^{\mathrm{2}} +{x}+\mathrm{1}} \\ $$$$={log}\left({x}−\mathrm{1}\right)−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}{log}\left({x}^{\mathrm{2}} +{x}+\mathrm{1}\right)+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}{x}^{\mathrm{2}} }−\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{2}}\int\frac{\mathrm{1}}{\left({x}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\right)^{\mathrm{2}} +\left(\frac{\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{2}}\right)^{\mathrm{2}} }{dx} \\ $$$$={log}\left(\frac{{x}−\mathrm{1}}{\:\sqrt{{x}^{\mathrm{2}} +{x}+\mathrm{1}}}\right)+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}{x}^{\mathrm{2}} }−\frac{\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{3}}}{tan}^{−\mathrm{1}} \frac{\mathrm{2}{x}+\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{3}}}+{C} \\ $$

Answered by 1549442205PVT last updated on 21/Oct/20

(1/(x^6 −x^3 ))=(1/(x^3 (x^3 −1)))=(1/(x^3 −1))−(1/x^3 )=(1/(x^3 −1))−(1/x^3 ) (1/(x^3 −1))=(1/((x−1)(x^2 +x+1)))=(a/(x−1))+((bx+c)/(x^2 +x+1)) ⇔1≡(a+b)x^2 +(a−b+c)x+a−c ⇔ { ((a+b=0)),((a−b+c=0)),((a−c=1)) :}⇒ { ((2a+c=0)),((a−c=1)) :}⇔ { ((a=1/3=−b)),((c=−2/3)) :} (1/(x^3 −1))=(1/(3(x−1)))−((x+2)/(3(x^2 +x+1))) F= ∫ (dx/(x^6 −x^3 )) =(1/3)∫(dx/(x−1))−∫(dx/x^3 ) −(1/3).((1/2)∫((2x+1)/(x^2 +x+1))+(3/2).(1/(x^2 +x+1)))dx =(1/3)ln∣x−1∣+(1/(2x^2 ))−(1/6)ln(x^2 +x+1) −(1/2)∫(dx/((x+(1/2))^2 +(((√3)/2))^2 )) =(1/3)ln∣x−1∣+(1/(2x^2 ))−(1/6)ln(x^2 +x+1) −(1/( (√3)))tan^(−1) (((2x+1)/( (√3))))+C

$$\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}^{\mathrm{6}} −\mathrm{x}^{\mathrm{3}} }=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}^{\mathrm{3}} \left(\mathrm{x}^{\mathrm{3}} −\mathrm{1}\right)}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}^{\mathrm{3}} −\mathrm{1}}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}^{\mathrm{3}} }=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}^{\mathrm{3}} −\mathrm{1}}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}^{\mathrm{3}} } \\ $$$$\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}^{\mathrm{3}} −\mathrm{1}}=\frac{\mathrm{1}}{\left(\mathrm{x}−\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{x}+\mathrm{1}\right)}=\frac{\mathrm{a}}{\mathrm{x}−\mathrm{1}}+\frac{\mathrm{bx}+\mathrm{c}}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{x}+\mathrm{1}} \\ $$$$\Leftrightarrow\mathrm{1}\equiv\left(\mathrm{a}+\mathrm{b}\right)\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\left(\mathrm{a}−\mathrm{b}+\mathrm{c}\right)\mathrm{x}+\mathrm{a}−\mathrm{c} \\ $$$$\Leftrightarrow\begin{cases}{\mathrm{a}+\mathrm{b}=\mathrm{0}}\\{\mathrm{a}−\mathrm{b}+\mathrm{c}=\mathrm{0}}\\{\mathrm{a}−\mathrm{c}=\mathrm{1}}\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}{\mathrm{2a}+\mathrm{c}=\mathrm{0}}\\{\mathrm{a}−\mathrm{c}=\mathrm{1}}\end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases}{\mathrm{a}=\mathrm{1}/\mathrm{3}=−\mathrm{b}}\\{\mathrm{c}=−\mathrm{2}/\mathrm{3}}\end{cases} \\ $$$$\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}^{\mathrm{3}} −\mathrm{1}}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}\left(\mathrm{x}−\mathrm{1}\right)}−\frac{\mathrm{x}+\mathrm{2}}{\mathrm{3}\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{x}+\mathrm{1}\right)} \\ $$$$\mathrm{F}=\:\int\:\frac{{dx}}{{x}^{\mathrm{6}} −{x}^{\mathrm{3}} }\:=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}\int\frac{\mathrm{dx}}{\mathrm{x}−\mathrm{1}}−\int\frac{\mathrm{dx}}{\mathrm{x}^{\mathrm{3}} } \\ $$$$−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}.\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\int\frac{\mathrm{2x}+\mathrm{1}}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{x}+\mathrm{1}}+\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{2}}.\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{x}+\mathrm{1}}\right)\mathrm{dx} \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}\mathrm{ln}\mid\mathrm{x}−\mathrm{1}\mid+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2x}^{\mathrm{2}} }−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{6}}\mathrm{ln}\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{x}+\mathrm{1}\right) \\ $$$$−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\int\frac{\mathrm{dx}}{\left(\mathrm{x}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\right)^{\mathrm{2}} +\left(\frac{\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{2}}\right)^{\mathrm{2}} } \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}\mathrm{ln}\mid\mathrm{x}−\mathrm{1}\mid+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2x}^{\mathrm{2}} }−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{6}}\mathrm{ln}\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{x}+\mathrm{1}\right) \\ $$$$−\frac{\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{3}}}\mathrm{tan}^{−\mathrm{1}} \left(\frac{\mathrm{2x}+\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{3}}}\right)+\mathrm{C} \\ $$$$ \\ $$

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