Question Number 35920 by rahul 19 last updated on 25/May/18
$$\int\:\frac{{e}^{\mathrm{2}{x}} +\mathrm{1}}{\mathrm{2}{e}^{{x}} −\mathrm{1}}\:{dx}\:=\:? \\ $$
Commented by prof Abdo imad last updated on 26/May/18
$${changement}\:{e}^{{x}} \:={t}\:{give}\: \\ $$$${I}\:=\:\int\:\:\frac{{t}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}}{\mathrm{2}{t}−\mathrm{1}}\:\frac{{dt}}{{t}}\:=\:\int\:\:\frac{{t}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{1}}{\mathrm{2}{t}^{\mathrm{2}} \:−{t}}{dt} \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\int\:\:\frac{\mathrm{2}{t}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{2}\:−{t}\:+{t}}{\mathrm{2}{t}^{\mathrm{2}} \:−{t}}{dt} \\ $$$$=\:\frac{{t}}{\mathrm{2}}\:+\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\int\:\:\frac{\mathrm{2}+{t}}{\mathrm{2}{t}^{\mathrm{2}} \:−{t}}{dt}\:{let}\:{decompose} \\ $$$${F}\left({t}\right)\:=\:\:\frac{\mathrm{2}+{t}}{{t}\left(\mathrm{2}{t}−\mathrm{1}\right)}\:=\frac{{a}}{{t}}\:+\frac{{bt}\:+{c}}{\mathrm{2}{t}−\mathrm{1}} \\ $$$$\Leftrightarrow\:\mathrm{2}{at}\:−{a}\:+{bt}^{\mathrm{2}} \:+{ct}\:=\mathrm{2}+{t}\:\Leftrightarrow\:{bt}^{\mathrm{2}} \:+\left(\mathrm{2}{a}+{c}\right){t}\:−{a} \\ $$$$=\mathrm{2}+{t}\:\Rightarrow{b}=\mathrm{0}\:,\:{a}\:=−\mathrm{2}\:,\:\mathrm{2}{a}+{c}=\mathrm{1}\:\Rightarrow{c}=\mathrm{1}−\mathrm{2}\left(−\mathrm{2}\right)=\mathrm{5} \\ $$$${F}\left({t}\right)=\:\:\frac{−\mathrm{2}}{{t}}\:\:+\frac{\mathrm{5}}{\mathrm{2}{t}−\mathrm{1}} \\ $$$$\int\:\:\frac{\mathrm{2}+{t}}{\mathrm{2}{t}^{\mathrm{2}} \:−{t}}{dt}\:=\:−\mathrm{2}{ln}\mid{t}\mid\:\:+\frac{\mathrm{5}}{\mathrm{2}}{ln}\mid{t}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mid\:+{c}\:\Rightarrow \\ $$$${I}\:=\:\frac{{t}}{\mathrm{2}}\:−{ln}\mid{t}\mid\:+\frac{\mathrm{5}}{\mathrm{4}}{ln}\mid{t}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mid\:+{c}\:\:\Rightarrow \\ $$$${I}\:=\:\frac{{e}^{{x}} }{\mathrm{2}}\:−{x}\:+\frac{\mathrm{5}}{\mathrm{4}}{ln}\mid{e}^{{x}} \:−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mid\:+{c}\:. \\ $$
Answered by tanmay.chaudhury50@gmail.com last updated on 26/May/18
$${t}=\mathrm{2}{e}^{{x}} −\mathrm{1}\: \\ $$$${e}^{{x}} =\frac{{t}+\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\:\:{so}\:{e}^{{x}} {dx}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}{dt} \\ $$$${dx}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}×\frac{\mathrm{2}}{{t}+\mathrm{1}}×{dt} \\ $$$$\int\frac{\left(\frac{{t}+\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\right)^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}}{{t}}×\frac{{dt}}{{t}+\mathrm{1}} \\ $$$$\int\frac{{t}^{\mathrm{2}} +\mathrm{2}{t}+\mathrm{1}+\mathrm{4}}{\mathrm{4}{t}\left({t}+\mathrm{1}\right)}{dt} \\ $$$$\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}\int\frac{{t}^{\mathrm{2}} +\mathrm{2}{t}+\mathrm{5}}{{t}\left({t}+\mathrm{1}\right)}{dt} \\ $$$${deviding}\:{t}^{\mathrm{2}} +\mathrm{2}{t}+\mathrm{5}\:\:{by}\:{t}^{\mathrm{2}} +{t} \\ $$$$\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}\int\left\{\mathrm{1}+\frac{{t}+\mathrm{5}}{{t}^{\mathrm{2}} +{t}}\right\}{dt} \\ $$$$\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}\int{tdt}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{8}}\int\frac{\mathrm{2}{t}+\mathrm{1}+\mathrm{9}}{{t}^{\mathrm{2}} +{t}}{dt} \\ $$$$\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}\int{dt}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{8}}\int\frac{\mathrm{2}{t}+\mathrm{1}}{{t}^{\mathrm{2}} +{t}}{dt}+\frac{\mathrm{9}}{\mathrm{8}}\int\frac{{dt}}{{t}\left({t}+\mathrm{1}\right)} \\ $$$$\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}\int{dt}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{8}}\int\frac{\mathrm{2}{t}+\mathrm{1}}{{t}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}}{dt}+\frac{\mathrm{9}}{\mathrm{8}}\int\frac{{t}+\mathrm{1}−{t}}{{t}\left({t}+\mathrm{1}\right)}{dt} \\ $$$$\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}\int{dt}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{8}}\int\frac{\mathrm{2}{t}+\mathrm{1}}{{t}^{\mathrm{2}} +{t}}{dt}+\frac{\mathrm{9}}{\mathrm{8}}\int\frac{{dt}}{{t}}−\frac{\mathrm{9}}{\mathrm{8}}\int\frac{{dt}}{{t}+\mathrm{1}} \\ $$$$\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}{t}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{8}}{ln}\left({t}^{\mathrm{2}} +{t}\right)+\frac{\mathrm{9}}{\mathrm{8}}{lnt}−\frac{\mathrm{9}}{\mathrm{8}}{ln}\left({t}+\mathrm{1}\right) \\ $$$$\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}\left(\mathrm{2}{e}^{{x}} −\mathrm{1}\right)+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{8}}{ln}\left\{\left(\mathrm{2}{e}^{{x}} −\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} +\left(\mathrm{2}{e}^{{x}} −\mathrm{1}\right\}−\right. \\ $$$$\frac{\mathrm{9}}{\mathrm{8}}{ln}\left(\mathrm{2}{e}^{{x}} −\mathrm{1}+\mathrm{1}\right) \\ $$$$\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}\left(\mathrm{2}{e}^{{x}} −\mathrm{1}\right)+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{8}}{ln}\left(\mathrm{4}{e}^{\mathrm{2}{x}} −\mathrm{4}{e}^{{x}} +\mathrm{1}+\mathrm{2}{e}^{{x}} −\mathrm{1}\right)− \\ $$$$\frac{\mathrm{9}}{\mathrm{8}}\left\{{ln}\mathrm{2}+{x}\right\} \\ $$$$\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}\left(\mathrm{2}^{} {e}^{{x}} −\mathrm{1}\right)+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{8}}{ln}\left(\mathrm{4}{e}^{\mathrm{2}{x}} −\mathrm{2}{e}^{{x}} \right)+\frac{\mathrm{9}{x}}{\mathrm{8}}+{constant} \\ $$$$\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}\left(\mathrm{2}{e}^{{x}} −\mathrm{1}\right)+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{8}}\left\{{ln}\mathrm{2}{e}^{{x}} \left(\mathrm{2}{e}^{{x}} −\mathrm{1}\right)\right\}+\frac{\mathrm{9}{x}}{\mathrm{8}}+{C} \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}\left(\mathrm{2}{e}^{{x}} −\mathrm{1}\right)+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{8}}\left\{{ln}\mathrm{2}+{x}+{ln}\left(\mathrm{2}{e}^{{x}} −\mathrm{1}\right)\right\}+\frac{\mathrm{9}{x}}{\mathrm{8}}+{C} \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}\left(\mathrm{2}{e}^{{x}} −\mathrm{1}\right)+\frac{{ln}\mathrm{2}}{\mathrm{8}}+\frac{{x}}{\mathrm{8}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{8}}{ln}\left(\mathrm{2}{e}^{{x}} −\mathrm{1}\right)+\frac{\mathrm{9}{x}}{\mathrm{8}}+{C} \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}\left(\mathrm{2}{e}^{{x}} −\mathrm{1}\right)+\frac{\mathrm{10}{x}}{\mathrm{8}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{8}}{ln}\left(\mathrm{2}{e}^{{x}} −\mathrm{1}\right)+{C}'\:\:{ans} \\ $$