Question Number 190883 by mnjuly1970 last updated on 13/Apr/23
$$ \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{Elementary}\:\:\:\mathrm{algebra} \\ $$$$\:\:\: \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{If}\:\:,\:\:{x}\:=\:\frac{\mathrm{1}\:+\sqrt{\mathrm{17}}}{\mathrm{2}}\:\:\Rightarrow\:\:\mathrm{Find}\:\:\mathrm{the}\:\mathrm{value}\:\mathrm{of}\::\:\:\:\:\:\:\:\: \\ $$$$ \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\mathrm{E}\:=\:\frac{\:{x}^{\mathrm{8}} −\:{x}^{\:\mathrm{7}} \:+\:{x}^{\:\mathrm{6}} −….−\:{x}\:+\mathrm{1}\:}{{x}^{\:\mathrm{6}} \:−\:{x}^{\:\mathrm{3}} \:+\:\mathrm{1}}\:=\:? \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:@\mathrm{nice}\:−\:\mathrm{mathematics}\:\:\: \\ $$$$ \\ $$
Answered by Frix last updated on 13/Apr/23
$${E}=\frac{\left({x}^{\mathrm{2}} −{x}+\mathrm{1}\right)\left({x}^{\mathrm{6}} −{x}^{\mathrm{3}} +\mathrm{1}\right)}{{x}^{\mathrm{6}} −{x}^{\mathrm{3}} +\mathrm{1}}={x}^{\mathrm{2}} −{x}+\mathrm{1}=\mathrm{5} \\ $$
Answered by mnjuly1970 last updated on 13/Apr/23
$$\:\:\:\:\:\mathrm{E}\:=\:\frac{\frac{\mathrm{1}+\:{x}^{\:\mathrm{9}} }{\mathrm{1}+{x}}}{\mathrm{1}−{x}^{\:\mathrm{3}} +\:{x}^{\:\mathrm{6}} }=\:\frac{\mathrm{1}+{x}^{\:\mathrm{9}} }{\left(\mathrm{1}+{x}\right)\left(\mathrm{1}−{x}^{\:\mathrm{3}} +\:{x}^{\:\mathrm{6}} \right)} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:=\:\frac{\:\mathrm{1}+{x}^{\:\mathrm{3}} }{\mathrm{1}+{x}}=\:\mathrm{1}−{x}\:+\:{x}^{\:\mathrm{2}} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:=\:\mathrm{1}−{x}\:\left(\mathrm{1}−{x}\right) \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:=\:\mathrm{1}−\left(\frac{\mathrm{1}+\sqrt{\mathrm{17}}}{\mathrm{2}}\right)\left(\:\frac{\mathrm{1}−\sqrt{\mathrm{17}}}{\mathrm{2}}\right) \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:=\:\mathrm{1}−\frac{−\mathrm{16}}{\mathrm{4}}=\:\mathrm{5}\:\checkmark \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\: \\ $$$$ \\ $$