Question Number 151340 by peter frank last updated on 20/Aug/21
$$\mathrm{Evaluate} \\ $$$$\int_{−\mathrm{1}} ^{\mathrm{1}} \frac{\left(\mathrm{2x}^{\mathrm{332}} +\mathrm{x}^{\mathrm{998}} +\mathrm{4x}^{\mathrm{1668}} .\mathrm{sin}\:\mathrm{x}^{\mathrm{691}} \right)}{\mathrm{1}+\mathrm{x}^{\mathrm{666}} }\mathrm{dx} \\ $$
Answered by qaz last updated on 20/Aug/21
$$\int_{−\mathrm{1}} ^{\mathrm{1}} \frac{\left(\mathrm{2x}^{\mathrm{332}} +\mathrm{x}^{\mathrm{998}} +\mathrm{4x}^{\mathrm{1668}} \mathrm{sin}\:\mathrm{x}^{\mathrm{691}} \right.}{\mathrm{1}+\mathrm{x}^{\mathrm{666}} }\mathrm{dx} \\ $$$$=\mathrm{2}\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \frac{\mathrm{x}^{\mathrm{332}} \left(\mathrm{2}+\mathrm{x}^{\mathrm{666}} \right)}{\mathrm{1}+\mathrm{x}^{\mathrm{666}} }\mathrm{dx} \\ $$$$=\mathrm{2}\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \mathrm{x}^{\mathrm{332}} \left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}+\mathrm{x}^{\mathrm{666}} }+\mathrm{1}\right)\mathrm{dx} \\ $$$$=\mathrm{2}\underset{\mathrm{n}=\mathrm{0}} {\overset{\infty} {\sum}}\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}} \int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \mathrm{x}^{\mathrm{666n}+\mathrm{332}} \mathrm{dx}+\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{333}} \\ $$$$=\mathrm{2}\underset{\mathrm{n}=\mathrm{0}} {\overset{\infty} {\sum}}\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}} }{\mathrm{666n}+\mathrm{333}}+\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{333}} \\ $$$$=\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{333}}\underset{\mathrm{n}=\mathrm{0}} {\overset{\infty} {\sum}}\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}} }{\mathrm{2n}+\mathrm{1}}+\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{333}} \\ $$$$=\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{333}}\left(\frac{\pi}{\mathrm{4}}+\mathrm{1}\right) \\ $$