Question Number 179244 by Acem last updated on 27/Oct/22
$${Evaluate}\:\int\mathrm{tan}^{\mathrm{4}} \:{x}\:\mathrm{sec}^{\mathrm{5}} \:{x}\:{dx} \\ $$
Answered by ARUNG_Brandon_MBU last updated on 27/Oct/22
$${I}=\int\mathrm{tan}^{\mathrm{4}} {x}\mathrm{sec}^{\mathrm{5}} {xdx}=\int\mathrm{tan}^{\mathrm{3}} {x}\mathrm{sec}^{\mathrm{4}} {x}\centerdot\mathrm{sec}{x}\mathrm{tan}{xdx} \\ $$$$\:\:=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{5}}\mathrm{tan}^{\mathrm{3}} {x}\mathrm{sec}^{\mathrm{5}} {x}−\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{5}}\int\mathrm{tan}^{\mathrm{2}} {x}\mathrm{sec}^{\mathrm{7}} {xdx} \\ $$$$\:\:=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{5}}\mathrm{tan}^{\mathrm{3}} {x}\mathrm{sec}^{\mathrm{5}} {x}−\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{35}}\mathrm{tan}{x}\mathrm{sec}^{\mathrm{7}} {x}+\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{35}}\int\mathrm{sec}^{\mathrm{9}} {xdx} \\ $$$$\:\:=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{5}}\mathrm{tan}^{\mathrm{3}} {x}\mathrm{sec}^{\mathrm{5}} {x}−\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{5}}\mathrm{tan}{x}\mathrm{sec}^{\mathrm{7}} {x}+\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{35}}\int\frac{\mathrm{cos}{x}}{\left(\mathrm{1}−\mathrm{sin}^{\mathrm{2}} {x}\right)^{\mathrm{5}} }{dx} \\ $$$$\frac{\mathrm{1}}{\left(\mathrm{1}−{t}^{\mathrm{2}} \right)^{\mathrm{5}} }=\frac{{a}}{{t}+\mathrm{1}}+\frac{{b}}{\left({t}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }+\frac{{c}}{\left({t}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{3}} }+\frac{{d}}{\left({t}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{4}} }+\frac{{e}}{\left({t}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{5}} } \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:+\frac{{f}}{{t}−\mathrm{1}}+\frac{{g}}{\left({t}−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }+\frac{{h}}{\left({t}−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{3}} }+\frac{{i}}{\left({t}−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{4}} }+\frac{{j}}{\left({t}−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{5}} } \\ $$$$\mathrm{Continuing}\:\mathrm{this}\:\mathrm{process}\:\mathrm{we}'\mathrm{ll}\:\mathrm{be}\:\mathrm{able}\:\mathrm{to}\:\mathrm{decompose}\: \\ $$$$\frac{\mathrm{1}}{\left(\mathrm{1}−{t}^{\mathrm{2}} \right)^{\mathrm{5}} }\:\mathrm{completely}\:\mathrm{and}\:\mathrm{integrate}\:\frac{\mathrm{1}}{\left(\mathrm{1}−{t}^{\mathrm{2}} \right)^{\mathrm{5}} }\:,\:\mathrm{where}\:{t}=\mathrm{sin}{x} \\ $$
Commented by ARUNG_Brandon_MBU last updated on 27/Oct/22
$$\frac{\mathrm{1}}{\left(\mathrm{1}−{t}^{\mathrm{2}} \right)^{\mathrm{5}} }=\frac{\mathrm{35}}{\mathrm{256}\left(\mathrm{1}+{t}\right)}+\frac{\mathrm{35}}{\mathrm{256}\left(\mathrm{1}+{t}\right)^{\mathrm{2}} }+\frac{\mathrm{15}}{\mathrm{128}\left(\mathrm{1}+{t}\right)^{\mathrm{3}} }+\frac{\mathrm{5}}{\mathrm{64}\left(\mathrm{1}+{t}\right)^{\mathrm{4}} }+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{32}\left(\mathrm{1}+{t}\right)^{\mathrm{5}} } \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:−\frac{\mathrm{35}}{\mathrm{256}\left(\mathrm{1}+{t}\right)}+\frac{\mathrm{35}}{\mathrm{256}\left(\mathrm{1}+{t}\right)^{\mathrm{2}} }−\frac{\mathrm{15}}{\mathrm{128}\left(\mathrm{1}+{t}\right)^{\mathrm{3}} }+\frac{\mathrm{5}}{\mathrm{64}\left(\mathrm{1}+{t}\right)^{\mathrm{4}} }−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{32}\left(\mathrm{1}+{t}\right)^{\mathrm{5}} } \\ $$
Answered by MJS_new last updated on 27/Oct/22
$$\int\mathrm{tan}^{\mathrm{4}} \:{x}\:\mathrm{sec}^{\mathrm{5}} \:{x}\:{dx}=\int\frac{\mathrm{sin}^{\mathrm{4}} \:{x}}{\mathrm{cos}^{\mathrm{9}} \:{x}}{dx}= \\ $$$$\:\:\:\:\:\left[{t}=\mathrm{sin}\:{x}\:\rightarrow\:{dx}=\frac{{dt}}{\mathrm{cos}\:{x}}\right] \\ $$$$=−\int\frac{{t}^{\mathrm{4}} }{\left({t}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}\right)^{\mathrm{5}} }{dt}= \\ $$$$\:\:\:\:\:\left[\mathrm{Ostrogradski}\right] \\ $$$$=−\frac{{t}\left({t}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{3}{t}^{\mathrm{4}} −\mathrm{14}{t}^{\mathrm{2}} +\mathrm{3}\right)}{\mathrm{128}\left({t}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}\right)^{\mathrm{4}} }−\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{128}}\int\frac{{dt}}{{t}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}}= \\ $$$$=−\frac{{t}\left({t}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{3}{t}^{\mathrm{4}} −\mathrm{14}{t}^{\mathrm{2}} +\mathrm{3}\right)}{\mathrm{128}\left({t}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}\right)^{\mathrm{4}} }+\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{128}}\mathrm{ln}\:\mid\frac{\mathrm{1}+{t}}{\mathrm{1}−{t}}\mid\:=… \\ $$