Question Number 109544 by 1549442205PVT last updated on 25/Aug/20
$$\mathrm{Exclude}\:\mathrm{m}\:\mathrm{and}\:\mathrm{n}\:\mathrm{from}\:\mathrm{the}\:\mathrm{equalities}: \\ $$$$\mathrm{a}=\mathrm{m}+\mathrm{n},\mathrm{b}^{\mathrm{3}} =\mathrm{m}^{\mathrm{3}} +\mathrm{n}^{\mathrm{3}} ,\mathrm{c}^{\mathrm{5}} =\mathrm{m}^{\mathrm{5}} +\mathrm{n}^{\mathrm{5}} \\ $$
Commented by Her_Majesty last updated on 24/Aug/20
$${only}\:\mathrm{2}\:{equalities}\:{are}\:{necessary}\:{to}\:{get}\:{m}\:{and} \\ $$$${n}\:\Rightarrow\:{it}'{s}\:{an}\:{easy}\:{task} \\ $$$${let}\:{m}={x}−{y}\wedge{n}={x}+{y} \\ $$$${a}=\mathrm{2}{x}\:\Rightarrow\:{x}=\frac{{a}}{\mathrm{2}} \\ $$$${b}^{\mathrm{3}} =\mathrm{3}{ay}^{\mathrm{2}} +\frac{{a}^{\mathrm{3}} }{\mathrm{4}}\:\Rightarrow\:{y}^{\mathrm{2}} =\frac{\mathrm{4}{b}^{\mathrm{3}} −{a}^{\mathrm{3}} }{\mathrm{12}{a}} \\ $$$${c}^{\mathrm{5}} =\frac{\mathrm{5}{b}^{\mathrm{6}} +\mathrm{5}{a}^{\mathrm{3}} {b}^{\mathrm{3}} −{a}^{\mathrm{6}} }{\mathrm{9}{a}} \\ $$
Answered by ajfour last updated on 24/Aug/20
$${m}^{\mathrm{3}} +{n}^{\mathrm{3}} =\left({m}+{n}\right)\left\{\left({m}+{n}\right)^{\mathrm{2}} −\mathrm{3}{mn}\right\} \\ $$$${b}^{\mathrm{3}} ={a}\left({a}^{\mathrm{2}} −\mathrm{3}{mn}\right) \\ $$$${m}^{\mathrm{5}} +{n}^{\mathrm{5}} =\left({m}^{\mathrm{3}} +{n}^{\mathrm{3}} \right)\left({m}^{\mathrm{2}} +{n}^{\mathrm{2}} \right) \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:−{m}^{\mathrm{2}} {n}^{\mathrm{2}} \left({m}+{n}\right)\:\:\: \\ $$$$\Rightarrow \\ $$$$\:{c}^{\mathrm{5}} ={b}^{\mathrm{3}} \left\{{a}^{\mathrm{2}} −\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{3}}\left({a}^{\mathrm{2}} −\frac{{b}^{\mathrm{3}} }{{a}}\right)\right\}−\frac{{a}}{\mathrm{9}}\left({a}^{\mathrm{2}} −\frac{{b}^{\mathrm{3}} }{{a}}\right)^{\mathrm{2}} \\ $$
Commented by 1549442205PVT last updated on 25/Aug/20
$$\mathrm{Thank}\:\mathrm{both}\:\mathrm{Sirs} \\ $$
Answered by 1549442205PVT last updated on 25/Aug/20
$$\mathrm{From}\:\mathrm{the}\:\mathrm{hypothesis}\:\mathrm{we}\:\mathrm{have} \\ $$$$\mathrm{a}^{\mathrm{3}} =\left(\mathrm{m}+\mathrm{n}\right)^{\mathrm{3}} =\mathrm{m}^{\mathrm{3}} +\mathrm{n}^{\mathrm{3}} +\mathrm{3mn}\left(\mathrm{m}+\mathrm{n}\right)= \\ $$$$\mathrm{b}^{\mathrm{3}} +\mathrm{3mna}\Rightarrow\mathrm{mn}=\frac{\mathrm{a}^{\mathrm{3}} −\mathrm{b}^{\mathrm{3}} }{\mathrm{3a}}\left(\mathrm{1}\right) \\ $$$$\mathrm{a}^{\mathrm{5}} =\left(\mathrm{m}+\mathrm{n}\right)^{\mathrm{5}} =\mathrm{m}^{\mathrm{5}} +\mathrm{n}^{\mathrm{5}} +\mathrm{5mn}\left(\mathrm{m}^{\mathrm{3}} +\mathrm{n}^{\mathrm{3}} \right) \\ $$$$+\mathrm{10}\left(\mathrm{mn}\right)^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{m}+\mathrm{n}\right)=\mathrm{c}^{\mathrm{5}} +\mathrm{5mnb}^{\mathrm{3}} + \\ $$$$+\mathrm{10mna}\left(\mathrm{2}\right).\mathrm{Replace}\left(\mathrm{1}\right)\mathrm{into}\:\left(\mathrm{2}\right)\:\mathrm{we}\:\mathrm{get} \\ $$$$\boldsymbol{\mathrm{a}}^{\mathrm{5}} −\boldsymbol{\mathrm{c}}^{\mathrm{5}} =\mathrm{5}\boldsymbol{\mathrm{b}}^{\mathrm{3}} .\frac{\mathrm{a}^{\mathrm{3}} −\mathrm{b}^{\mathrm{3}} }{\mathrm{3a}}+\mathrm{10a}.\left(\frac{\mathrm{a}^{\mathrm{3}} −\mathrm{b}^{\mathrm{3}} }{\mathrm{3a}}\right)^{\mathrm{2}} \\ $$$$=\frac{\mathrm{a}^{\mathrm{3}} −\mathrm{b}^{\mathrm{3}} }{\mathrm{3a}}\left(\mathrm{5b}^{\mathrm{3}} +\mathrm{10a}.\frac{\mathrm{a}^{\mathrm{3}} −\mathrm{b}^{\mathrm{3}} }{\mathrm{3a}}\right) \\ $$$$=\frac{\mathrm{a}^{\mathrm{3}} −\mathrm{b}^{\mathrm{3}} }{\mathrm{3a}}.\frac{\mathrm{10a}^{\mathrm{3}} +\mathrm{5b}^{\mathrm{3}} }{\mathrm{3}}.\mathrm{Finally},\mathrm{we}\:\mathrm{obtain} \\ $$$$\mathrm{9}\boldsymbol{\mathrm{a}}\left(\boldsymbol{\mathrm{a}}^{\mathrm{5}} −\boldsymbol{\mathrm{c}}^{\mathrm{5}} \right)=\mathrm{5}\left(\boldsymbol{\mathrm{a}}^{\mathrm{3}} −\boldsymbol{\mathrm{b}}^{\mathrm{3}} \right)\left(\mathrm{2}\boldsymbol{\mathrm{a}}^{\mathrm{3}} +\boldsymbol{\mathrm{b}}^{\mathrm{3}} \right) \\ $$