Question Number 148525 by nadovic last updated on 28/Jul/21
$$\:\mathrm{Express}\:\:\frac{\sqrt{\mathrm{15}}+\sqrt{\mathrm{35}}+\sqrt{\mathrm{21}}+\mathrm{5}}{\:\sqrt{\mathrm{3}}+\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{5}}+\sqrt{\mathrm{7}}}\:\mathrm{in}\:\mathrm{the}\:\mathrm{form} \\ $$$$\:{a}\sqrt{\mathrm{3}\:}+\:{b}\sqrt{\mathrm{7}}. \\ $$
Answered by Ar Brandon last updated on 28/Jul/21
$$\frac{\sqrt{\mathrm{15}}+\sqrt{\mathrm{35}}+\sqrt{\mathrm{21}}+\mathrm{5}}{\:\sqrt{\mathrm{3}}+\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{5}}+\sqrt{\mathrm{7}}} \\ $$$$=\frac{\sqrt{\mathrm{3}}\centerdot\sqrt{\mathrm{5}}+\sqrt{\mathrm{7}}\centerdot\sqrt{\mathrm{5}}+\sqrt{\mathrm{3}}\centerdot\sqrt{\mathrm{7}}+\sqrt{\mathrm{5}}\overset{\mathrm{2}} {\:}}{\:\sqrt{\mathrm{3}}+\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{5}}+\sqrt{\mathrm{7}}} \\ $$$$=\frac{\sqrt{\mathrm{5}}\overset{\mathrm{2}} {\:}+\left(\sqrt{\mathrm{3}}+\sqrt{\mathrm{7}}\right)\sqrt{\mathrm{5}}+\sqrt{\mathrm{7}}\centerdot\sqrt{\mathrm{5}}}{\:\sqrt{\mathrm{3}}+\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{5}}+\sqrt{\mathrm{7}}} \\ $$$$=\frac{\left(\sqrt{\mathrm{5}}+\sqrt{\mathrm{3}}\right)\left(\sqrt{\mathrm{5}}+\sqrt{\mathrm{7}}\right)}{\left(\sqrt{\mathrm{5}}+\sqrt{\mathrm{3}}\right)+\left(\sqrt{\mathrm{5}}+\sqrt{\mathrm{7}}\right)}×\frac{\left(\sqrt{\mathrm{5}}+\sqrt{\mathrm{3}}\right)−\left(\sqrt{\mathrm{5}}+\sqrt{\mathrm{7}}\right)}{\left(\sqrt{\mathrm{5}}+\sqrt{\mathrm{3}}\right)−\left(\sqrt{\mathrm{5}}+\sqrt{\mathrm{7}}\right)} \\ $$
Answered by MJS_new last updated on 29/Jul/21
$$\frac{\mathrm{5}+\sqrt{\mathrm{7}}\sqrt{\mathrm{5}}+\sqrt{\mathrm{7}}\sqrt{\mathrm{3}}+\sqrt{\mathrm{5}}\sqrt{\mathrm{3}}}{\:\sqrt{\mathrm{7}}+\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{5}}+\sqrt{\mathrm{3}}}= \\ $$$$=\frac{\left(\mathrm{5}+\sqrt{\mathrm{7}}\sqrt{\mathrm{5}}+\sqrt{\mathrm{7}}\sqrt{\mathrm{3}}+\sqrt{\mathrm{5}}\sqrt{\mathrm{3}}\right)\left(−\sqrt{\mathrm{7}}+\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{5}}+\sqrt{\mathrm{3}}\right)}{\left(\sqrt{\mathrm{7}}+\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{5}}+\sqrt{\mathrm{3}}\right)\left(−\sqrt{\mathrm{7}}+\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{5}}+\sqrt{\mathrm{3}}\right)}= \\ $$$$=\frac{\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{7}}\sqrt{\mathrm{5}}\sqrt{\mathrm{3}}+\mathrm{8}\sqrt{\mathrm{7}}+\mathrm{6}\sqrt{\mathrm{5}}+\mathrm{8}\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{16}+\mathrm{4}\sqrt{\mathrm{5}}\sqrt{\mathrm{3}}}= \\ $$$$=\frac{\sqrt{\mathrm{7}}\sqrt{\mathrm{5}}\sqrt{\mathrm{3}}+\mathrm{4}\sqrt{\mathrm{7}}+\mathrm{3}\sqrt{\mathrm{5}}+\mathrm{4}\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{2}\left(\mathrm{4}+\sqrt{\mathrm{5}}\sqrt{\mathrm{3}}\right)}= \\ $$$$=\frac{\left(\sqrt{\mathrm{7}}\sqrt{\mathrm{5}}\sqrt{\mathrm{3}}+\mathrm{4}\sqrt{\mathrm{7}}+\mathrm{3}\sqrt{\mathrm{5}}+\mathrm{4}\sqrt{\mathrm{3}}\right)\left(\mathrm{4}−\sqrt{\mathrm{5}}\sqrt{\mathrm{3}}\right)}{\mathrm{2}\left(\mathrm{4}+\sqrt{\mathrm{5}}\sqrt{\mathrm{3}}\right)\left(\mathrm{4}−\sqrt{\mathrm{5}}\sqrt{\mathrm{3}}\right)}= \\ $$$$=\frac{\sqrt{\mathrm{7}}+\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{2}} \\ $$$$\Rightarrow\:{a}={b}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}} \\ $$
Commented by nadovic last updated on 30/Jul/21
$${Thank}\:{you}\:{Sir} \\ $$