Question Number 163209 by HongKing last updated on 04/Jan/22
$$\mathrm{f}\::\:\mathrm{I}\:\rightarrow\:\left(\mathrm{0}\:;\:\infty\right)\:\:;\:\:\mathrm{I}\:\subset\:\mathbb{R} \\ $$$$\mathrm{f}\:-\:\mathrm{twice}\:\mathrm{derivable}\:\:;\:\:\mathrm{f}\:^{'} \:;\:\mathrm{f}\:^{''} \:-\:\mathrm{continuous} \\ $$$$\mathrm{f}\:^{''} \left(\mathrm{x}\right)\:\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\:\geqslant\:\left(\mathrm{f}\:^{'} \left(\mathrm{x}\right)\right)^{\mathrm{2}} \:;\:\:\forall\:\mathrm{x}\:\in\:\mathrm{I} \\ $$$$\mathrm{then}\:\mathrm{prove}\:\mathrm{that}: \\ $$$$\mathrm{2f}\:\left(\frac{\mathrm{x}\:+\:\mathrm{y}}{\mathrm{2}}\right)\:\leqslant\:\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\:+\:\mathrm{f}\left(\mathrm{y}\right)\:\:;\:\:\forall\:\mathrm{x};\mathrm{y}\:\in\:\mathrm{I} \\ $$