Menu Close

f-t-sin-pt-fourier-serie-




Question Number 148237 by puissant last updated on 26/Jul/21
f(t)=sin(pt) fourier serie..
$${f}\left({t}\right)={sin}\left({pt}\right)\:{fourier}\:{serie}.. \\ $$
Answered by Olaf_Thorendsen last updated on 26/Jul/21
f est une fonction impaire et   donc a_0  = 0. Les autres a_n sont nuls  egalement.    La periode T de f est ((2π)/p).  • Calculons b_1  a part :  b_1  = (2/T)∫_(−(T/2)) ^(+(T/2)) f(t)sin(((2πt)/T)) dt  b_1  = (p/π)∫_(−(π/p)) ^(+(π/p)) sin(pt)sin(pt) dt  b_1  = (p/π)∫_(−(π/p)) ^(+(π/p)) (1/2)(1−cos(2pt)) dt  b_1  = (p/(2π))[t−((sin(2pt))/(2p))]_(−(π/p)) ^(+(π/p))  = 1    • Calculons les autres b_n , n> 1 :  b_n  = (2/T)∫_(−(T/2)) ^(+(T/2)) f(t)sin(((2πnt)/T)) dt  b_n  = (p/π)∫_(−(π/p)) ^(+(π/p)) sin(pt)sin(pnt) dt  b_n  = (p/π)∫_(−(π/p)) ^(+(π/p)) (1/2)[cos(pnt−pt)−cos(pnt+pt)] dt  b_n  = (p/π)∫_(−(π/p)) ^(+(π/p)) (1/2)[cos((n−1)pt)−cos((n+1)pt)] dt  b_n  = (p/(2π))[((sin((n−1)pt))/(n−1))−((sin((n+1)pt))/(n+1))]_(−(π/p)) ^(+(π/p))   b_n  = (p/π)[((sin((n−1)π))/(n−1))−((sin((n+1)π))/(n+1))]_(−(π/p)) ^(+(π/p))   b_n  = (p/π)((((−1)^(n−1) )/(n−1))−(((−1)^(n+1) )/(n+1)))  b_n  = −((p(−1)^n )/π)((1/(n−1))−(1/(n+1)))  b_n  = −((p(−1)^n )/(π(n^2 −1)))  Remarque : dans l′expression de b_n ,  le denominateur est nul pour n = 1.  C′est pour ca qu′on a pris soin de  calculer b_1  a part.    Resultat des courses :  Sur une periode T = ((2π)/p), on a:  f(t) = sin(pt) = sin(pt)−(p/π)Σ_(n=2) ^∞ (((−1)^n )/(n^2 −1))sin(pnt)
$${f}\:\mathrm{est}\:\mathrm{une}\:\mathrm{fonction}\:\mathrm{impaire}\:\mathrm{et}\: \\ $$$$\mathrm{donc}\:{a}_{\mathrm{0}} \:=\:\mathrm{0}.\:\mathrm{Les}\:\mathrm{autres}\:{a}_{{n}} \mathrm{sont}\:\mathrm{nuls} \\ $$$$\mathrm{egalement}. \\ $$$$ \\ $$$$\mathrm{La}\:\mathrm{periode}\:\mathrm{T}\:\mathrm{de}\:{f}\:\mathrm{est}\:\frac{\mathrm{2}\pi}{{p}}. \\ $$$$\bullet\:\mathrm{Calculons}\:{b}_{\mathrm{1}} \:\mathrm{a}\:\mathrm{part}\:: \\ $$$${b}_{\mathrm{1}} \:=\:\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{T}}\int_{−\frac{\mathrm{T}}{\mathrm{2}}} ^{+\frac{\mathrm{T}}{\mathrm{2}}} {f}\left({t}\right)\mathrm{sin}\left(\frac{\mathrm{2}\pi{t}}{\mathrm{T}}\right)\:{dt} \\ $$$${b}_{\mathrm{1}} \:=\:\frac{{p}}{\pi}\int_{−\frac{\pi}{{p}}} ^{+\frac{\pi}{{p}}} \mathrm{sin}\left({pt}\right)\mathrm{sin}\left({pt}\right)\:{dt} \\ $$$${b}_{\mathrm{1}} \:=\:\frac{{p}}{\pi}\int_{−\frac{\pi}{{p}}} ^{+\frac{\pi}{{p}}} \frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\left(\mathrm{1}−\mathrm{cos}\left(\mathrm{2}{pt}\right)\right)\:{dt} \\ $$$${b}_{\mathrm{1}} \:=\:\frac{{p}}{\mathrm{2}\pi}\left[{t}−\frac{\mathrm{sin}\left(\mathrm{2}{pt}\right)}{\mathrm{2}{p}}\right]_{−\frac{\pi}{{p}}} ^{+\frac{\pi}{{p}}} \:=\:\mathrm{1} \\ $$$$ \\ $$$$\bullet\:\mathrm{Calculons}\:\mathrm{les}\:\mathrm{autres}\:{b}_{{n}} ,\:{n}>\:\mathrm{1}\:: \\ $$$${b}_{{n}} \:=\:\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{T}}\int_{−\frac{\mathrm{T}}{\mathrm{2}}} ^{+\frac{\mathrm{T}}{\mathrm{2}}} {f}\left({t}\right)\mathrm{sin}\left(\frac{\mathrm{2}\pi{nt}}{\mathrm{T}}\right)\:{dt} \\ $$$${b}_{{n}} \:=\:\frac{{p}}{\pi}\int_{−\frac{\pi}{{p}}} ^{+\frac{\pi}{{p}}} \mathrm{sin}\left({pt}\right)\mathrm{sin}\left({pnt}\right)\:{dt} \\ $$$${b}_{{n}} \:=\:\frac{{p}}{\pi}\int_{−\frac{\pi}{{p}}} ^{+\frac{\pi}{{p}}} \frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\left[\mathrm{cos}\left({pnt}−{pt}\right)−\mathrm{cos}\left({pnt}+{pt}\right)\right]\:{dt} \\ $$$${b}_{{n}} \:=\:\frac{{p}}{\pi}\int_{−\frac{\pi}{{p}}} ^{+\frac{\pi}{{p}}} \frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\left[\mathrm{cos}\left(\left({n}−\mathrm{1}\right){pt}\right)−\mathrm{cos}\left(\left({n}+\mathrm{1}\right){pt}\right)\right]\:{dt} \\ $$$${b}_{{n}} \:=\:\frac{{p}}{\mathrm{2}\pi}\left[\frac{\mathrm{sin}\left(\left({n}−\mathrm{1}\right){pt}\right)}{{n}−\mathrm{1}}−\frac{\mathrm{sin}\left(\left({n}+\mathrm{1}\right){pt}\right)}{{n}+\mathrm{1}}\right]_{−\frac{\pi}{{p}}} ^{+\frac{\pi}{{p}}} \\ $$$${b}_{{n}} \:=\:\frac{{p}}{\pi}\left[\frac{\mathrm{sin}\left(\left({n}−\mathrm{1}\right)\pi\right)}{{n}−\mathrm{1}}−\frac{\mathrm{sin}\left(\left({n}+\mathrm{1}\right)\pi\right)}{{n}+\mathrm{1}}\right]_{−\frac{\pi}{{p}}} ^{+\frac{\pi}{{p}}} \\ $$$${b}_{{n}} \:=\:\frac{{p}}{\pi}\left(\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{{n}−\mathrm{1}} }{{n}−\mathrm{1}}−\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{{n}+\mathrm{1}} }{{n}+\mathrm{1}}\right) \\ $$$${b}_{{n}} \:=\:−\frac{{p}\left(−\mathrm{1}\right)^{{n}} }{\pi}\left(\frac{\mathrm{1}}{{n}−\mathrm{1}}−\frac{\mathrm{1}}{{n}+\mathrm{1}}\right) \\ $$$${b}_{{n}} \:=\:−\frac{{p}\left(−\mathrm{1}\right)^{{n}} }{\pi\left({n}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}\right)} \\ $$$$\mathrm{Remarque}\::\:\mathrm{dans}\:\mathrm{l}'\mathrm{expression}\:\mathrm{de}\:{b}_{{n}} , \\ $$$$\mathrm{le}\:\mathrm{denominateur}\:\mathrm{est}\:\mathrm{nul}\:\mathrm{pour}\:{n}\:=\:\mathrm{1}. \\ $$$$\mathrm{C}'\mathrm{est}\:\mathrm{pour}\:\mathrm{ca}\:\mathrm{qu}'\mathrm{on}\:\mathrm{a}\:\mathrm{pris}\:\mathrm{soin}\:\mathrm{de} \\ $$$$\mathrm{calculer}\:{b}_{\mathrm{1}} \:\mathrm{a}\:\mathrm{part}. \\ $$$$ \\ $$$$\mathrm{Resultat}\:\mathrm{des}\:\mathrm{courses}\:: \\ $$$$\mathrm{Sur}\:\mathrm{une}\:\mathrm{periode}\:\mathrm{T}\:=\:\frac{\mathrm{2}\pi}{{p}},\:\mathrm{on}\:\mathrm{a}: \\ $$$${f}\left({t}\right)\:=\:\mathrm{sin}\left({pt}\right)\:=\:\mathrm{sin}\left({pt}\right)−\frac{{p}}{\pi}\underset{{n}=\mathrm{2}} {\overset{\infty} {\sum}}\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{{n}} }{{n}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}}\mathrm{sin}\left({pnt}\right) \\ $$
Commented by Olaf_Thorendsen last updated on 26/Jul/21
J′ai rectifie une erreur de calcul.  la somme qui apparait est bien  sur nulle. Une fonction sinusoidale  se confond avec sa serie de Fourier sur  sa periode. En clair, la serie de  Fourier de sin(pt) sur ((2π)/p) est sin(pt)  tout simplement.Mais on peut  calculer une serie de Fourier sur  une periode tronquee. La, on a une  serie non nulle.  (je ne suis pas prof)
$$\mathrm{J}'\mathrm{ai}\:\mathrm{rectifie}\:\mathrm{une}\:\mathrm{erreur}\:\mathrm{de}\:\mathrm{calcul}. \\ $$$$\mathrm{la}\:\mathrm{somme}\:\mathrm{qui}\:\mathrm{apparait}\:\mathrm{est}\:\mathrm{bien} \\ $$$$\mathrm{sur}\:\mathrm{nulle}.\:\mathrm{Une}\:\mathrm{fonction}\:\mathrm{sinusoidale} \\ $$$$\mathrm{se}\:\mathrm{confond}\:\mathrm{avec}\:\mathrm{sa}\:\mathrm{serie}\:\mathrm{de}\:\mathrm{Fourier}\:\mathrm{sur} \\ $$$$\mathrm{sa}\:\mathrm{periode}.\:\mathrm{En}\:\mathrm{clair},\:\mathrm{la}\:\mathrm{serie}\:\mathrm{de} \\ $$$$\mathrm{Fourier}\:\mathrm{de}\:\mathrm{sin}\left({pt}\right)\:\mathrm{sur}\:\frac{\mathrm{2}\pi}{{p}}\:\mathrm{est}\:\mathrm{sin}\left({pt}\right) \\ $$$$\mathrm{tout}\:\mathrm{simplement}.\mathrm{Mais}\:\mathrm{on}\:\mathrm{peut} \\ $$$$\mathrm{calculer}\:\mathrm{une}\:\mathrm{serie}\:\mathrm{de}\:\mathrm{Fourier}\:\mathrm{sur} \\ $$$$\mathrm{une}\:\mathrm{periode}\:\mathrm{tronquee}.\:\mathrm{La},\:\mathrm{on}\:\mathrm{a}\:\mathrm{une} \\ $$$$\mathrm{serie}\:\mathrm{non}\:\mathrm{nulle}. \\ $$$$\left(\mathrm{je}\:\mathrm{ne}\:\mathrm{suis}\:\mathrm{pas}\:\mathrm{prof}\right) \\ $$

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *