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f-x-1-1-x-x-f-x-

Tinku Tara 0 Comments
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Question Number 105613 by Study last updated on 30/Jul/20
f(x)=(1+(1/x))^(x!) f^′ (x)=????
$${f}\left({x}\right)=\left(\mathrm{1}+\frac{\mathrm{1}}{{x}}\right)^{{x}!} \:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:{f}^{'} \left({x}\right)=???? \\ $$
Answered by mathmax by abdo last updated on 30/Jul/20
f(x) =e^(x!ln(1+(1/x))) ⇒f^′ (x) =(x!ln(1+(1/x)))^′ f(x) le =(x!)^′ ln(1+(1/x))+x!(ln(1+(1/x)))^′ f(x) but x!=Γ(x+1) =∫_0 ^∞ t^x e^(−t) dt =∫_0 ^∞ e^(xlnt) e^(−t) dt ⇒ (d/dx)(x!) = ∫_0 ^∞ lnt t^x e^(−t) dt and (d/dx)(ln(1+(1/x)))=((−1)/(x^2 (1+(1/x)))) =((−1)/(x^2 +x)) ⇒f^′ (x) ={ln(1+(1/x))∫_0 ^∞ t^x e^(−t) lnt dt −((x!)/(x^2 +x))}(1+(1/x))^(x!)
$$\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\:=\mathrm{e}^{\mathrm{x}!\mathrm{ln}\left(\mathrm{1}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}}\right)} \:\Rightarrow\mathrm{f}^{'} \left(\mathrm{x}\right)\:=\left(\mathrm{x}!\mathrm{ln}\left(\mathrm{1}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}}\right)\right)^{'} \:\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\:\mathrm{le}\: \\ $$$$=\left(\mathrm{x}!\right)^{'} \mathrm{ln}\left(\mathrm{1}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}}\right)+\mathrm{x}!\left(\mathrm{ln}\left(\mathrm{1}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}}\right)\right)^{'} \mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\:\:\mathrm{but} \\ $$$$\mathrm{x}!=\Gamma\left(\mathrm{x}+\mathrm{1}\right)\:=\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \:\mathrm{t}^{\mathrm{x}} \:\mathrm{e}^{−\mathrm{t}} \mathrm{dt}\:\:=\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \:\mathrm{e}^{\mathrm{xlnt}} \:\mathrm{e}^{−\mathrm{t}} \:\mathrm{dt}\:\Rightarrow \\ $$$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}\left(\mathrm{x}!\right)\:=\:\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \:\mathrm{lnt}\:\mathrm{t}^{\mathrm{x}} \:\mathrm{e}^{−\mathrm{t}} \:\mathrm{dt}\:\:\:\mathrm{and}\:\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}\left(\mathrm{ln}\left(\mathrm{1}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}}\right)\right)=\frac{−\mathrm{1}}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{1}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}}\right)} \\ $$$$=\frac{−\mathrm{1}}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{x}}\:\Rightarrow\mathrm{f}^{'} \left(\mathrm{x}\right)\:=\left\{\mathrm{ln}\left(\mathrm{1}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}}\right)\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \mathrm{t}^{\mathrm{x}} \:\mathrm{e}^{−\mathrm{t}} \mathrm{lnt}\:\mathrm{dt}\:−\frac{\mathrm{x}!}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{x}}\right\}\left(\mathrm{1}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}}\right)^{\mathrm{x}!} \\ $$

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