Question Number 117508 by bemath last updated on 12/Oct/20
$$\mathrm{f}\left(\mathrm{x}+\mathrm{1}\right)+\mathrm{f}\left(\mathrm{x}−\mathrm{1}\right)\:=\:\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \: \\ $$$$\mathrm{find}\:\mathrm{f}^{−\mathrm{1}} \left(\mathrm{x}\right)\:=? \\ $$
Answered by bobhans last updated on 12/Oct/20
$$\mathrm{let}\:\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\:=\:\mathrm{ax}^{\mathrm{2}} +\mathrm{bx}+\mathrm{c} \\ $$$$\mathrm{f}\left(\mathrm{x}+\mathrm{1}\right)\:=\:\mathrm{a}\left(\mathrm{x}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} +\mathrm{b}\left(\mathrm{x}+\mathrm{1}\right)+\mathrm{c} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:=\:\mathrm{ax}^{\mathrm{2}} +\left(\mathrm{2a}+\mathrm{b}\right)\mathrm{x}+\mathrm{a}+\mathrm{b}+\mathrm{c} \\ $$$$\mathrm{f}\left(\mathrm{x}−\mathrm{1}\right)=\mathrm{a}\left(\mathrm{x}−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} +\mathrm{b}\left(\mathrm{x}−\mathrm{1}\right)+\mathrm{c} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:=\:\mathrm{ax}^{\mathrm{2}} +\left(\mathrm{b}−\mathrm{2a}\right)\mathrm{x}+\mathrm{a}−\mathrm{b}+\mathrm{c} \\ $$$$\Leftrightarrow\:\mathrm{f}\left(\mathrm{x}+\mathrm{1}\right)+\mathrm{f}\left(\mathrm{x}−\mathrm{1}\right)=\:\mathrm{ax}^{\mathrm{2}} +\mathrm{2bx}+\mathrm{2a}+\mathrm{2c} \\ $$$$\begin{cases}{\mathrm{a}=\mathrm{1}}\\{\mathrm{b}=\mathrm{0}\:}\\{\mathrm{2a}+\mathrm{2c}=\mathrm{0}\Rightarrow\mathrm{c}=−\mathrm{1}}\end{cases} \\ $$$$\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\:\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}\:;\:\mathrm{x}^{\mathrm{2}} =\mathrm{y}+\mathrm{1}\: \\ $$$$\mathrm{f}^{−\mathrm{1}} \left(\mathrm{x}\right)=\:\pm\:\sqrt{\mathrm{x}+\mathrm{1}}\:;\:\mathrm{x}\geqslant−\mathrm{1} \\ $$$$ \\ $$