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f-x-1-x-x-5-1-x-5-f-3-Q-181447-reposted-for-a-different-answer-

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Question Number 181524 by Rasheed.Sindhi last updated on 26/Nov/22
f(x+(1/x))=x^5 +(1/x^5 ) ; f(3)=? Q#181447 reposted for a different answer.
$${f}\left({x}+\frac{\mathrm{1}}{{x}}\right)={x}^{\mathrm{5}} +\frac{\mathrm{1}}{{x}^{\mathrm{5}} }\:;\:{f}\left(\mathrm{3}\right)=? \\ $$$${Q}#\mathrm{181447}\:{reposted}\:{for}\:{a}\:\boldsymbol{{different}}\:{answer}. \\ $$
Answered by Rasheed.Sindhi last updated on 26/Nov/22
f(x+(1/x))=x^5 +(1/x^5 ) ; f(3)=? x+(1/x)=3⇒ { ((x=3−(1/x))),(((1/x)=3−x)) :} x^5 =? x=3−(1/x) ⇒x^2 =3x−1 ⇒x^3 =3x^2 −x=3(3x−1)−x=8x−3 ⇒x^4 =8x^2 −3x=8(3x−1)−3x=21x−8 ⇒x^5 =21x^2 −8x=21(3x−1)−8x=55x−21 (1/x^5 )=? (1/x)=3−x (1/x^2 )=((3−x)/x)=3((1/x))−1=3(3−x)−1=8−3x (1/x^3 )=((8−3x)/x)=8((1/x))−3=8(3−x)−3=21−8x (1/x^4 )=21((1/x))−8=21(3−x)−8=55−21x (1/x^5 )=55((1/x))−21=55(3−x)−21=144−55x x^5 +(1/x^5 )=(55x−21)+(144−55x)=123 f(3)=123
$${f}\left({x}+\frac{\mathrm{1}}{{x}}\right)={x}^{\mathrm{5}} +\frac{\mathrm{1}}{{x}^{\mathrm{5}} }\:\:;\:\:{f}\left(\mathrm{3}\right)=? \\ $$$${x}+\frac{\mathrm{1}}{{x}}=\mathrm{3}\Rightarrow\begin{cases}{{x}=\mathrm{3}−\frac{\mathrm{1}}{{x}}}\\{\frac{\mathrm{1}}{{x}}=\mathrm{3}−{x}}\end{cases}\: \\ $$$${x}^{\mathrm{5}} =? \\ $$$${x}=\mathrm{3}−\frac{\mathrm{1}}{{x}} \\ $$$$\Rightarrow{x}^{\mathrm{2}} =\mathrm{3}{x}−\mathrm{1} \\ $$$$\Rightarrow{x}^{\mathrm{3}} =\mathrm{3}{x}^{\mathrm{2}} −{x}=\mathrm{3}\left(\mathrm{3}{x}−\mathrm{1}\right)−{x}=\mathrm{8}{x}−\mathrm{3} \\ $$$$\Rightarrow{x}^{\mathrm{4}} =\mathrm{8}{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{3}{x}=\mathrm{8}\left(\mathrm{3}{x}−\mathrm{1}\right)−\mathrm{3}{x}=\mathrm{21}{x}−\mathrm{8} \\ $$$$\Rightarrow{x}^{\mathrm{5}} =\mathrm{21}{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{8}{x}=\mathrm{21}\left(\mathrm{3}{x}−\mathrm{1}\right)−\mathrm{8}{x}=\mathrm{55}{x}−\mathrm{21} \\ $$$$\: \\ $$$$\frac{\mathrm{1}}{{x}^{\mathrm{5}} }=? \\ $$$$\frac{\mathrm{1}}{{x}}=\mathrm{3}−{x} \\ $$$$\frac{\mathrm{1}}{{x}^{\mathrm{2}} }=\frac{\mathrm{3}−{x}}{{x}}=\mathrm{3}\left(\frac{\mathrm{1}}{{x}}\right)−\mathrm{1}=\mathrm{3}\left(\mathrm{3}−{x}\right)−\mathrm{1}=\mathrm{8}−\mathrm{3}{x} \\ $$$$\frac{\mathrm{1}}{{x}^{\mathrm{3}} }=\frac{\mathrm{8}−\mathrm{3}{x}}{{x}}=\mathrm{8}\left(\frac{\mathrm{1}}{{x}}\right)−\mathrm{3}=\mathrm{8}\left(\mathrm{3}−{x}\right)−\mathrm{3}=\mathrm{21}−\mathrm{8}{x} \\ $$$$\frac{\mathrm{1}}{{x}^{\mathrm{4}} }=\mathrm{21}\left(\frac{\mathrm{1}}{{x}}\right)−\mathrm{8}=\mathrm{21}\left(\mathrm{3}−{x}\right)−\mathrm{8}=\mathrm{55}−\mathrm{21}{x} \\ $$$$\frac{\mathrm{1}}{{x}^{\mathrm{5}} }=\mathrm{55}\left(\frac{\mathrm{1}}{{x}}\right)−\mathrm{21}=\mathrm{55}\left(\mathrm{3}−{x}\right)−\mathrm{21}=\mathrm{144}−\mathrm{55}{x} \\ $$$$ \\ $$$${x}^{\mathrm{5}} +\frac{\mathrm{1}}{{x}^{\mathrm{5}} }=\left(\mathrm{55}{x}−\mathrm{21}\right)+\left(\mathrm{144}−\mathrm{55}{x}\right)=\mathrm{123} \\ $$$${f}\left(\mathrm{3}\right)=\mathrm{123} \\ $$
Answered by SEKRET last updated on 26/Nov/22
x+(1/x)=3 → x^5 +(1/x^5 )=? x^2 +(1/x^2 )=7 x^3 +(1/x^3 )+3∙(x+(1/x))=27 x^3 +(1/x^3 )=27−9=18 (x^2 +(1/x^2 ))(x^3 +(1/x^3 ))=7∙18 x^5 +(1/x^5 )+x+(1/x)=126 x^5 +(1/x^5 )=123 ABDULAZIZ ABDUVALIYEV
$$\:\boldsymbol{\mathrm{x}}+\frac{\mathrm{1}}{\boldsymbol{\mathrm{x}}}=\mathrm{3}\:\:\:\rightarrow\:\:\boldsymbol{\mathrm{x}}^{\mathrm{5}} +\frac{\mathrm{1}}{\boldsymbol{\mathrm{x}}^{\mathrm{5}} }=? \\ $$$$\:\:\boldsymbol{\mathrm{x}}^{\mathrm{2}} +\frac{\mathrm{1}}{\boldsymbol{\mathrm{x}}^{\mathrm{2}} }=\mathrm{7}\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\boldsymbol{\mathrm{x}}^{\mathrm{3}} +\frac{\mathrm{1}}{\boldsymbol{\mathrm{x}}^{\mathrm{3}} }+\mathrm{3}\centerdot\left(\boldsymbol{\mathrm{x}}+\frac{\mathrm{1}}{\boldsymbol{\mathrm{x}}}\right)=\mathrm{27} \\ $$$$\:\:\:\boldsymbol{\mathrm{x}}^{\mathrm{3}} +\frac{\mathrm{1}}{\boldsymbol{\mathrm{x}}^{\mathrm{3}} }=\mathrm{27}−\mathrm{9}=\mathrm{18} \\ $$$$\:\left(\boldsymbol{\mathrm{x}}^{\mathrm{2}} +\frac{\mathrm{1}}{\boldsymbol{\mathrm{x}}^{\mathrm{2}} }\right)\left(\boldsymbol{\mathrm{x}}^{\mathrm{3}} +\frac{\mathrm{1}}{\boldsymbol{\mathrm{x}}^{\mathrm{3}} }\right)=\mathrm{7}\centerdot\mathrm{18} \\ $$$$\:\:\:\boldsymbol{\mathrm{x}}^{\mathrm{5}} +\frac{\mathrm{1}}{\boldsymbol{\mathrm{x}}^{\mathrm{5}} }+\boldsymbol{\mathrm{x}}+\frac{\mathrm{1}}{\boldsymbol{\mathrm{x}}}=\mathrm{126}\:\:\:\:\:\:\:\boldsymbol{\mathrm{x}}^{\mathrm{5}} +\frac{\mathrm{1}}{\boldsymbol{\mathrm{x}}^{\mathrm{5}} }=\mathrm{123} \\ $$$$\:\:\boldsymbol{{ABDULAZIZ}}\:\:\:\:\boldsymbol{{ABDUVALIYEV}} \\ $$

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