Question Number 182004 by CrispyXYZ last updated on 03/Dec/22
$${f}\left({x}\right)=\mathrm{2}^{{x}} +\mathrm{3}^{{x}} −\mathrm{6}^{{x}} \\ $$$$\mathrm{Find}\:{f}\left({x}\right)_{\mathrm{max}} \\ $$
Answered by ARUNG_Brandon_MBU last updated on 03/Dec/22
$${f}\left({x}\right)=\mathrm{2}^{{x}} +\mathrm{3}^{{x}} −\mathrm{6}^{{x}} \\ $$$${f}\:'\left({x}\right)=\mathrm{2}^{{x}} \mathrm{ln2}+\mathrm{3}^{{x}} \mathrm{ln3}−\mathrm{6}^{{x}} \mathrm{ln6} \\ $$$${f}\:'\left({x}\right)\underset{{x}\rightarrow{x}_{\mathrm{max}} } {\sim}\mathrm{0} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{2}^{{x}} \mathrm{ln2}+\mathrm{3}^{{x}} \mathrm{ln3}−\mathrm{2}^{{x}} .\mathrm{3}^{{x}} \left(\mathrm{ln2}+\mathrm{ln3}\right)=\mathrm{0} \\ $$$$\Rightarrow\:{x}_{\mathrm{max}} =\mathrm{0}\:\wedge\:{f}\left({x}\right)_{\mathrm{max}} =\mathrm{1} \\ $$
Answered by mr W last updated on 03/Dec/22
$${f}\left({x}\right)=\mathrm{2}^{{x}} +\mathrm{3}^{{x}} −\mathrm{2}^{{x}} \mathrm{3}^{{x}} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:=\mathrm{1}−\left(\mathrm{1}−\mathrm{2}^{{x}} \right)\left(\mathrm{1}−\mathrm{3}^{{x}} \right)\leqslant\mathrm{1}−\mathrm{0}=\mathrm{1} \\ $$$$\Rightarrow{f}\left({x}\right)_{{max}} =\mathrm{1}\: \\ $$$$\:\:\:\:\:{at}\:\mathrm{1}−\mathrm{2}^{{x}} =\mathrm{1}−\mathrm{3}^{{x}} =\mathrm{0},\:{i}.{e}.\:{x}=\mathrm{0} \\ $$
Answered by SEKRET last updated on 03/Dec/22
$$\:\:\mathrm{2}^{\boldsymbol{\mathrm{x}}} =\boldsymbol{\mathrm{a}}\:\:\:\:\:\mathrm{3}^{\boldsymbol{\mathrm{x}}} =\boldsymbol{\mathrm{b}} \\ $$$$\:\:\:\boldsymbol{\mathrm{y}}=\boldsymbol{\mathrm{a}}+\boldsymbol{\mathrm{b}}−\boldsymbol{\mathrm{ab}} \\ $$$$\:\:\:\boldsymbol{\mathrm{y}}'\left(\boldsymbol{\mathrm{a}}\right)=\mathrm{0}\:\:\:\:\:\boldsymbol{\mathrm{y}}'\left(\boldsymbol{\mathrm{b}}\right)=\mathrm{0}\:\:\:\boldsymbol{\mathrm{sistem}} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{1}−\boldsymbol{\mathrm{b}}=\mathrm{0}\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{1}−\boldsymbol{\mathrm{a}}=\mathrm{0} \\ $$$$\:\:\:\:\:\boldsymbol{\mathrm{M}}_{\mathrm{0}} \left(\mathrm{1}\:;\:\mathrm{1}\right) \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\boldsymbol{\mathrm{y}}''\left(\boldsymbol{\mathrm{a}}\right)=\mathrm{0}\:\:\:\:\boldsymbol{\mathrm{y}}''\left(\boldsymbol{\mathrm{b}}\right)=\mathrm{0}\:\:\:\boldsymbol{\mathrm{y}}''\left(\boldsymbol{\mathrm{ab}}\right)=\:−\mathrm{1} \\ $$$$\:\:\bigtriangleup=\:\mathrm{0}\:−\mathrm{1}=\:−\mathrm{1}<\mathrm{0} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\mathrm{2}^{\boldsymbol{\mathrm{x}}} =\mathrm{1}\:\:\:\:\:\:\mathrm{3}^{\boldsymbol{\mathrm{x}}} =\mathrm{1}\:\:\:\:\:\boldsymbol{\mathrm{x}}=\mathrm{0} \\ $$$$\:\:\:\:\boldsymbol{\mathrm{y}}\left(\mathrm{0}\right)=\:\mathrm{1}+\mathrm{1}−\mathrm{1}=\mathrm{1} \\ $$