Question Number 182109 by amin96 last updated on 04/Dec/22
$$\boldsymbol{{f}}\left(\boldsymbol{{x}}\right)=\mathrm{3}\boldsymbol{{x}}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2}\boldsymbol{{x}}\sqrt{\mathrm{3}}−\mathrm{8}\:\:\:\:\:\boldsymbol{{g}}\left(\boldsymbol{{x}}\right)=\boldsymbol{{x}}^{\mathrm{2}} −\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}} \\ $$$$\boldsymbol{{gof}}^{−\mathrm{1}} \left(\mathrm{18}\right)=? \\ $$
Answered by FelipeLz last updated on 04/Dec/22
$${f}\left({x}\right)\:=\:\mathrm{3}{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2}{x}\sqrt{\mathrm{3}}−\mathrm{8} \\ $$$${f}\left({x}\right)\:=\:\mathrm{3}{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{3}}{x}+\mathrm{1}−\mathrm{1}−\mathrm{8} \\ $$$${f}\left({x}\right)\:=\:\left(\sqrt{\mathrm{3}}{x}−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} −\mathrm{9} \\ $$$${x}\:=\:\left(\sqrt{\mathrm{3}}{f}^{−\mathrm{1}} \left({x}\right)−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} −\mathrm{9} \\ $$$${f}^{−\mathrm{1}} \left({x}\right)\:=\:\frac{\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{3}}}\left(\mathrm{1}+\sqrt{{x}+\mathrm{9}}\right) \\ $$$${g}\circ{f}^{−\mathrm{1}} \left({x}\right)\:=\:\left[\frac{\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{3}}}\left(\mathrm{1}+\sqrt{{x}+\mathrm{9}}\right)\right]^{\mathrm{2}} −\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}} \\ $$$${g}\circ{f}^{−\mathrm{1}} \left({x}\right)\:=\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}\left(\mathrm{10}+\mathrm{2}\sqrt{{x}+\mathrm{9}}+{x}\right)−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}} \\ $$$${g}\circ{f}^{−\mathrm{1}} \left({x}\right)\:=\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}\left(\mathrm{9}+\mathrm{2}\sqrt{{x}+\mathrm{9}}+{x}\right) \\ $$$${g}\circ{f}^{−\mathrm{1}} \left(\mathrm{18}\right)\:=\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}\left(\mathrm{27}+\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{27}}\right) \\ $$$${g}\circ{f}^{−\mathrm{1}} \left(\mathrm{18}\right)\:=\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}\left(\mathrm{27}+\mathrm{6}\sqrt{\mathrm{3}}\right)\:=\:\mathrm{9}+\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{3}} \\ $$$$ \\ $$