Question Number 117945 by bemath last updated on 14/Oct/20
$$\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\:=\:\int\:\frac{\mathrm{5x}^{\mathrm{8}} +\mathrm{7x}^{\mathrm{6}} }{\left(\mathrm{2x}^{\mathrm{7}} +\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }\:\mathrm{dx}\:\mathrm{and}\:\: \\ $$$$\mathrm{f}\left(\mathrm{0}\right)\:=\:\mathrm{0}\:,\:\mathrm{then}\:\mathrm{f}\left(\mathrm{1}\right)\:=\:\_\: \\ $$
Commented by bemath last updated on 14/Oct/20
$$\mathrm{thank}\:\mathrm{you}\:\mathrm{all}\:\mathrm{sir} \\ $$
Answered by john santu last updated on 14/Oct/20
$${f}\left({x}\right)=\int\:\frac{\mathrm{5}{x}^{\mathrm{8}} +\mathrm{7}{x}^{\mathrm{6}} }{{x}^{\mathrm{14}} \left(\mathrm{2}+{x}^{−\mathrm{5}} +{x}^{−\mathrm{7}} \right)^{\mathrm{2}} }\:{dx}\: \\ $$$${f}\left({x}\right)=\int\:\frac{\mathrm{5}{x}^{−\mathrm{6}} +\mathrm{7}{x}^{−\mathrm{8}} }{\left(\mathrm{2}+{x}^{−\mathrm{5}} +{x}^{−\mathrm{7}} \right)^{\mathrm{2}} }\:{dx}\: \\ $$$${letting}\:\phi\:=\:\mathrm{2}+{x}^{−\mathrm{5}} +{x}^{−\mathrm{7}} \:{then}\: \\ $$$${d}\phi\:=\:−\left(\mathrm{5}{x}^{−\mathrm{6}} +\mathrm{7}{x}^{−\mathrm{8}} \right)\:{dx} \\ $$$${f}\left({x}\right)\:=\:\int\:\frac{−{d}\phi}{\phi^{\mathrm{2}} }\:=\:−\int\phi^{−\mathrm{2}} \:{d}\phi\:=\:\frac{\mathrm{1}}{\phi}+{c} \\ $$$${f}\left({x}\right)=\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}+{x}^{−\mathrm{5}} +{x}^{−\mathrm{7}} }\:+\:{c}\: \\ $$$${f}\left({x}\right)=\:\frac{{x}^{\mathrm{7}} }{\mathrm{2}{x}^{\mathrm{7}} +{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}}\:+\:{c}\: \\ $$$${since}\:{f}\left(\mathrm{0}\right)\:=\:\mathrm{0}\:{we}\:{get}\:{c}\:=\:\mathrm{0} \\ $$$${thus}\:{f}\left(\mathrm{1}\right)=\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}} \\ $$
Answered by Dwaipayan Shikari last updated on 14/Oct/20
$$\int\frac{\mathrm{5}{x}^{\mathrm{8}} +\mathrm{7}{x}^{\mathrm{6}} }{\left(\mathrm{2}{x}^{\mathrm{7}} +{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }{dx} \\ $$$$=\int\frac{\frac{\mathrm{5}}{{x}^{\mathrm{6}} }+\frac{\mathrm{7}}{{x}^{\mathrm{8}} }}{\left(\mathrm{2}+\frac{\mathrm{1}}{{x}^{\mathrm{5}} }+\frac{\mathrm{1}}{{x}^{\mathrm{7}} }\right)^{\mathrm{2}} }{dx} \\ $$$$=−\int\frac{{dt}}{{t}^{\mathrm{2}} }\:\:=\frac{\mathrm{1}}{{t}}+{C}=\frac{\mathrm{1}}{\left(\mathrm{2}+\frac{\mathrm{1}}{{x}^{\mathrm{5}} }+\frac{\mathrm{1}}{{x}^{\mathrm{7}} }\right)} \\ $$$${f}\left({x}\right)=\frac{{x}^{\mathrm{7}} }{\mathrm{2}{x}^{\mathrm{7}} +{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}}+\mathrm{C}\Rightarrow{f}\left(\mathrm{0}\right)=\mathrm{0}+{C}=\mathrm{0} \\ $$$${f}\left(\mathrm{1}\right)=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}.\mathrm{1}+\mathrm{1}+\mathrm{1}}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}} \\ $$
Answered by 1549442205PVT last updated on 14/Oct/20
$$\mathrm{Put}\:\mathrm{x}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{t}}\Rightarrow\mathrm{dx}=−\frac{\mathrm{dt}}{\mathrm{t}^{\mathrm{2}} } \\ $$$$\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=−\int\frac{\frac{\mathrm{5}}{\mathrm{t}^{\mathrm{8}} }+\frac{\mathrm{7}}{\mathrm{t}^{\mathrm{6}} }}{\left(\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{t}^{\mathrm{7}} }+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{t}^{\mathrm{2}} }+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }.\frac{\mathrm{dt}}{\mathrm{t}^{\mathrm{2}} } \\ $$$$=−\int\frac{\mathrm{t}^{\mathrm{4}} \left(\mathrm{5}+\mathrm{7t}^{\mathrm{2}} \right)\mathrm{dt}}{\left(\mathrm{t}^{\mathrm{7}} +\mathrm{t}^{\mathrm{5}} +\mathrm{2}\right)^{\mathrm{2}} }=−\int\frac{\mathrm{5t}^{\mathrm{4}} +\mathrm{7t}^{\mathrm{6}} }{\left(\mathrm{t}^{\mathrm{7}} +\mathrm{t}^{\mathrm{5}} +\mathrm{2}\right)^{\mathrm{2}} }\mathrm{dt} \\ $$$$\mathrm{Put}\:\mathrm{t}^{\mathrm{7}} +\mathrm{t}^{\mathrm{5}} +\mathrm{2}=\mathrm{u}\Rightarrow\mathrm{du}=\left(\mathrm{7t}^{\mathrm{6}} +\mathrm{5t}^{\mathrm{4}} \right)\mathrm{dt} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\left(\mathrm{u}\right)\right)=−\int\frac{\mathrm{du}}{\mathrm{u}^{\mathrm{2}} }=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{u}}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{t}^{\mathrm{7}} +\mathrm{t}^{\mathrm{5}} +\mathrm{2}}+\mathrm{C} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\frac{\mathrm{1}}{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}^{\mathrm{7}} }+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}^{\mathrm{5}} }+\mathrm{2}}=\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{7}} }{\mathrm{2x}^{\mathrm{7}} +\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}}+\mathrm{C} \\ $$$$\mathrm{f}\left(\mathrm{0}\right)=\mathrm{0}\Rightarrow\mathrm{C}=\mathrm{0}.\mathrm{Hence} \\ $$$$\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{7}} }{\mathrm{2x}^{\mathrm{7}} +\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}}\Rightarrow\mathrm{f}\left(\mathrm{1}\right)=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}} \\ $$