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f-x-arctan-2sinx-developp-f-at-fourier-serie-

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Question Number 145748 by mathmax by abdo last updated on 07/Jul/21
f(x)=arctan(2sinx) developp f at fourier serie
$$\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{arctan}\left(\mathrm{2sinx}\right) \\ $$$$\mathrm{developp}\:\mathrm{f}\:\mathrm{at}\:\mathrm{fourier}\:\mathrm{serie} \\ $$
Answered by mathmax by abdo last updated on 09/Jul/21
we have f^′ (x)=((2cosx)/(1+4sin^2 x))=((2cosx)/(1+4.((1−cos(2x))/2)))=((2cosx)/(1+2−2cos(2x))) =((2cosx)/(3−2cos(2x))) =((2((e^(ix) +e^(−ix) )/2))/(3−2((e^(2ix) +e^(−2ix) )/2)))=((e^(ix) +e^(−ix) )/(3−e^(2ix) −e^(−2ix) )) =_(e^(ix) =z) ((z+z^(−1) )/(3−z^2 −z^(−2) ))=((z^2 (z+z^(−1) ))/(3z^2 −z^4 −1))=((z^3 +z)/(−z^4 +3z^2 −1))=−((z^3 +z)/(z^4 −3z^2 +1)) z^4 −3z^2 +1=0 ⇒u^2 −3u+1=0 (u=z^2 ) Δ=9−4=5 ⇒u_1 =((3+(√5))/2) and u_2 =((3−(√5))/2) ⇒ f^′ (x)=−((z^3 +z)/((z^2 −u_1 )(z^2 −u_2 )))=(z^3 +z)((1/(z^2 −u_1 ))−(1/(z^2 −u_2 )))×(1/( (√5))) =(1/( (√5)))(((z(z^2 −u_1 )+u_1 z+z)/(z^2 −u_1 ))−((z(z^2 −u_2 )+u_2 z+z)/(z^2 −u_2 ))) =(1/( (√5))){(((1+u_1 )z)/(z^2 −u_1 ))−(((1+u_2 )z)/(z^2 −u_2 ))} ∣(u_1 /z^2 )∣−1=((3+(√5))/2)−1>0 ⇒∣(u_1 /z_2 )∣>1 ∣(u_2 /z^2 )∣−1=((3−(√5))/2)−1<0 ⇒∣(u_2 /z^2 )∣<1 ⇒ f^′ (x)=(1/( (√5))){−((1+u_1 )/u_1 )×(z/(1−(z^2 /u_1 )))−((1+u_2 )/z)×(1/(1−(u_2 /z^2 )))} =−(((1+u_1 )z)/( (√5)u_1 ))Σ_(n=0) ^∞ (z^(2n) /u_1 ^n )−(((1+u_2 ))/(z(√5)))Σ_(n=0) ^∞ (u_2 ^n /z^(2n) ) =−((1+u_1 )/(u_1 (√5)))Σ_(n=0) ^∞ (z^(2n+1) /u_1 ^n )−(((1+u_2 ))/( (√5)))Σ_(n=0) ^∞ (u_2 ^n /z^(2n+1) ) =−((1+u_1 )/(u_1 (√5)))Σ_(n=0) ^∞ u_1 ^(−n) e^(i(2n+1)x) −((1+u_2 )/( (√5)))Σ_(n=0) ^∞ u_2 ^n e^(−i(2n+1)x) ⇒ f(x)=−((1+u_1 )/(u_1 (√(5(i(2n+1))))))Σ_(n=0) ^∞ u_1 ^(−n) e^(i(2n+1)x) +((1+u_2 )/( (√5)i(2n+1)))Σ_(n=0) ^∞ u_2 ^(−n) e^(−i(2n+1)x) +K ...be continued....
$$\mathrm{we}\:\mathrm{have}\:\mathrm{f}^{'} \left(\mathrm{x}\right)=\frac{\mathrm{2cosx}}{\mathrm{1}+\mathrm{4sin}^{\mathrm{2}} \mathrm{x}}=\frac{\mathrm{2cosx}}{\mathrm{1}+\mathrm{4}.\frac{\mathrm{1}−\mathrm{cos}\left(\mathrm{2x}\right)}{\mathrm{2}}}=\frac{\mathrm{2cosx}}{\mathrm{1}+\mathrm{2}−\mathrm{2cos}\left(\mathrm{2x}\right)} \\ $$$$=\frac{\mathrm{2cosx}}{\mathrm{3}−\mathrm{2cos}\left(\mathrm{2x}\right)}\:=\frac{\mathrm{2}\frac{\mathrm{e}^{\mathrm{ix}} +\mathrm{e}^{−\mathrm{ix}} }{\mathrm{2}}}{\mathrm{3}−\mathrm{2}\frac{\mathrm{e}^{\mathrm{2ix}} +\mathrm{e}^{−\mathrm{2ix}} }{\mathrm{2}}}=\frac{\mathrm{e}^{\mathrm{ix}} \:+\mathrm{e}^{−\mathrm{ix}} }{\mathrm{3}−\mathrm{e}^{\mathrm{2ix}} −\mathrm{e}^{−\mathrm{2ix}} } \\ $$$$=_{\mathrm{e}^{\mathrm{ix}} \:=\mathrm{z}} \:\:\:\frac{\mathrm{z}+\mathrm{z}^{−\mathrm{1}} }{\mathrm{3}−\mathrm{z}^{\mathrm{2}} −\mathrm{z}^{−\mathrm{2}} }=\frac{\mathrm{z}^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{z}+\mathrm{z}^{−\mathrm{1}} \right)}{\mathrm{3z}^{\mathrm{2}} −\mathrm{z}^{\mathrm{4}} \:−\mathrm{1}}=\frac{\mathrm{z}^{\mathrm{3}} \:+\mathrm{z}}{−\mathrm{z}^{\mathrm{4}} \:+\mathrm{3z}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}}=−\frac{\mathrm{z}^{\mathrm{3}} \:+\mathrm{z}}{\mathrm{z}^{\mathrm{4}} −\mathrm{3z}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{1}} \\ $$$$\mathrm{z}^{\mathrm{4}} −\mathrm{3z}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{1}=\mathrm{0}\:\Rightarrow\mathrm{u}^{\mathrm{2}} −\mathrm{3u}+\mathrm{1}=\mathrm{0}\:\:\left(\mathrm{u}=\mathrm{z}^{\mathrm{2}} \right) \\ $$$$\Delta=\mathrm{9}−\mathrm{4}=\mathrm{5}\:\Rightarrow\mathrm{u}_{\mathrm{1}} =\frac{\mathrm{3}+\sqrt{\mathrm{5}}}{\mathrm{2}}\:\mathrm{and}\:\mathrm{u}_{\mathrm{2}} =\frac{\mathrm{3}−\sqrt{\mathrm{5}}}{\mathrm{2}}\:\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{f}^{'} \left(\mathrm{x}\right)=−\frac{\mathrm{z}^{\mathrm{3}} \:+\mathrm{z}}{\left(\mathrm{z}^{\mathrm{2}} −\mathrm{u}_{\mathrm{1}} \right)\left(\mathrm{z}^{\mathrm{2}} −\mathrm{u}_{\mathrm{2}} \right)}=\left(\mathrm{z}^{\mathrm{3}} \:+\mathrm{z}\right)\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{z}^{\mathrm{2}} −\mathrm{u}_{\mathrm{1}} }−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{z}^{\mathrm{2}} −\mathrm{u}_{\mathrm{2}} }\right)×\frac{\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{5}}} \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{5}}}\left(\frac{\mathrm{z}\left(\mathrm{z}^{\mathrm{2}} −\mathrm{u}_{\mathrm{1}} \right)+\mathrm{u}_{\mathrm{1}} \mathrm{z}+\mathrm{z}}{\mathrm{z}^{\mathrm{2}} −\mathrm{u}_{\mathrm{1}} }−\frac{\mathrm{z}\left(\mathrm{z}^{\mathrm{2}} −\mathrm{u}_{\mathrm{2}} \right)+\mathrm{u}_{\mathrm{2}} \mathrm{z}+\mathrm{z}}{\mathrm{z}^{\mathrm{2}} −\mathrm{u}_{\mathrm{2}} }\right) \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{5}}}\left\{\frac{\left(\mathrm{1}+\mathrm{u}_{\mathrm{1}} \right)\mathrm{z}}{\mathrm{z}^{\mathrm{2}} −\mathrm{u}_{\mathrm{1}} }−\frac{\left(\mathrm{1}+\mathrm{u}_{\mathrm{2}} \right)\mathrm{z}}{\mathrm{z}^{\mathrm{2}} −\mathrm{u}_{\mathrm{2}} }\right\} \\ $$$$\mid\frac{\mathrm{u}_{\mathrm{1}} }{\mathrm{z}^{\mathrm{2}} }\mid−\mathrm{1}=\frac{\mathrm{3}+\sqrt{\mathrm{5}}}{\mathrm{2}}−\mathrm{1}>\mathrm{0}\:\Rightarrow\mid\frac{\mathrm{u}_{\mathrm{1}} }{\mathrm{z}_{\mathrm{2}} }\mid>\mathrm{1} \\ $$$$\mid\frac{\mathrm{u}_{\mathrm{2}} }{\mathrm{z}^{\mathrm{2}} }\mid−\mathrm{1}=\frac{\mathrm{3}−\sqrt{\mathrm{5}}}{\mathrm{2}}−\mathrm{1}<\mathrm{0}\:\Rightarrow\mid\frac{\mathrm{u}_{\mathrm{2}} }{\mathrm{z}^{\mathrm{2}} }\mid<\mathrm{1}\:\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{f}^{'} \left(\mathrm{x}\right)=\frac{\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{5}}}\left\{−\frac{\mathrm{1}+\mathrm{u}_{\mathrm{1}} }{\mathrm{u}_{\mathrm{1}} }×\frac{\mathrm{z}}{\mathrm{1}−\frac{\mathrm{z}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{u}_{\mathrm{1}} }}−\frac{\mathrm{1}+\mathrm{u}_{\mathrm{2}} }{\mathrm{z}}×\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}−\frac{\mathrm{u}_{\mathrm{2}} }{\mathrm{z}^{\mathrm{2}} }}\right\} \\ $$$$=−\frac{\left(\mathrm{1}+\mathrm{u}_{\mathrm{1}} \right)\mathrm{z}}{\:\sqrt{\mathrm{5}}\mathrm{u}_{\mathrm{1}} }\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{0}} ^{\infty} \:\frac{\mathrm{z}^{\mathrm{2n}} }{\mathrm{u}_{\mathrm{1}} ^{\mathrm{n}} }−\frac{\left(\mathrm{1}+\mathrm{u}_{\mathrm{2}} \right)}{\mathrm{z}\sqrt{\mathrm{5}}}\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{0}} ^{\infty} \:\frac{\mathrm{u}_{\mathrm{2}} ^{\mathrm{n}} }{\mathrm{z}^{\mathrm{2n}} } \\ $$$$=−\frac{\mathrm{1}+\mathrm{u}_{\mathrm{1}} }{\mathrm{u}_{\mathrm{1}} \sqrt{\mathrm{5}}}\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{0}} ^{\infty} \:\frac{\mathrm{z}^{\mathrm{2n}+\mathrm{1}} }{\mathrm{u}_{\mathrm{1}} ^{\mathrm{n}} }−\frac{\left(\mathrm{1}+\mathrm{u}_{\mathrm{2}} \right)}{\:\sqrt{\mathrm{5}}}\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{0}} ^{\infty} \:\frac{\mathrm{u}_{\mathrm{2}} ^{\mathrm{n}} }{\mathrm{z}^{\mathrm{2n}+\mathrm{1}} } \\ $$$$=−\frac{\mathrm{1}+\mathrm{u}_{\mathrm{1}} }{\mathrm{u}_{\mathrm{1}} \sqrt{\mathrm{5}}}\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{0}} ^{\infty} \:\mathrm{u}_{\mathrm{1}} ^{−\mathrm{n}} \mathrm{e}^{\mathrm{i}\left(\mathrm{2n}+\mathrm{1}\right)\mathrm{x}} \:−\frac{\mathrm{1}+\mathrm{u}_{\mathrm{2}} }{\:\sqrt{\mathrm{5}}}\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{0}} ^{\infty} \:\mathrm{u}_{\mathrm{2}} ^{\mathrm{n}} \:\mathrm{e}^{−\mathrm{i}\left(\mathrm{2n}+\mathrm{1}\right)\mathrm{x}} \:\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=−\frac{\mathrm{1}+\mathrm{u}_{\mathrm{1}} }{\mathrm{u}_{\mathrm{1}} \sqrt{\mathrm{5}\left(\mathrm{i}\left(\mathrm{2n}+\mathrm{1}\right)\right)}}\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{0}} ^{\infty} \:\mathrm{u}_{\mathrm{1}} ^{−\mathrm{n}} \:\mathrm{e}^{\mathrm{i}\left(\mathrm{2n}+\mathrm{1}\right)\mathrm{x}} \:+\frac{\mathrm{1}+\mathrm{u}_{\mathrm{2}} }{\:\sqrt{\mathrm{5}}\mathrm{i}\left(\mathrm{2n}+\mathrm{1}\right)}\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{0}} ^{\infty} \:\mathrm{u}_{\mathrm{2}} ^{−\mathrm{n}} \:\mathrm{e}^{−\mathrm{i}\left(\mathrm{2n}+\mathrm{1}\right)\mathrm{x}} \:+\mathrm{K} \\ $$$$…\mathrm{be}\:\mathrm{continued}…. \\ $$
Commented by mathmax by abdo last updated on 09/Jul/21
to simplify calculus we can use this decomposition f^′ (x)=((2cosx)/(3−2cos(2x)))=((2cosx)/(3−2(2cos^2 x−1)))=((2cosx)/(3−4cos^2 x+2)) =−((2cosx)/(4cos^2 x−5))=−((2cosx)/((2cosx−(√5))(2cosx +(√5)))) =(1/(2(√5)))((1/(2cosx−(√5)))−(1/(2cosx+(√5))))=(1/(2(√5)))(u(x)−v(x)) u(x)=(1/(2cosx−(√5)))=(1/(e^(ix) +e^(−ix) −(√5)))=_(e^(ix) =z) (1/(z+z^(−1) −(√5))) =(z/(z^2 +1−(√5)z))=(z/(z^2 −(√5)z +1)) Δ=5−4=1 ⇒z_1 =(((√5)+1)/2) and z_2 =(((√5)−1)/2) u(x)=(z/((z−z_1 )(z−z_2 )))=z((1/(z−z_1 ))−(1/(z−z_2 )))=(z/(z−z_1 ))−(z/(z−z_2 )) ∣(z/z_1 )∣−1=(2/( (√5)+1))−1 =((2−(√5)−1)/((...)))<0 ⇒∣(z/z_1 )∣<1 ∣(z/z_2 )∣−1=(2/( (√5)−1))−1 =((2−(√5)+1)/( (√5)−1))=((3−(√5))/((..)))>0 ⇒∣(z/z_2 )∣>1 ⇒ u(x)=−(z/(z_1 (1−(z/z_1 ))))−(1/(1−(z_2 /z))) =−(z/z_1 )Σ_(n=0) ^∞ (z^n /z_1 ^n )−Σ_(n=0) ^∞ (z_2 ^n /z^n ) z_1 z_2 =1 ⇒z_2 ^n =(1/z_1 ^n ) ⇒u(x)=−(z/z_1 )Σ_(n=0) ^∞ (z^n /z_1 ^n )−Σ_(n=0) ^∞ (1/(z_1 ^n z^n )) =−Σ_(n=0) ^∞ ((((√5)+1)/2))^(−n−1) e^(i(n+1)x) −Σ_(n=0) ^∞ ((((√5)+1)/2))^(−n) e^(−inx) =−Σ_(n=0) ^∞ ((((√5)+1)/2))^(−n−1) (cos(n+1)x +isin(n+1)x) −Σ_(n=0) ^∞ ((((√5)+1)/2))^(−n) (cos(nx)−isin(nx)) u(x)real ⇒u(x)=−Σ_(n=0) ^∞ ((((√5)+1)/2))^(−(n+1)) cos(n+1)x −Σ_(n=0) ^∞ ((((√5)+1)/2))^(−n) cos(nx) =−Σ_(n=1) ^∞ ((((√5)+1)/2))^(−n) cos(nx)−Σ_(n=0) ^∞ ((((√5)+1)/2))^(−n) cos(nx) =−1−2Σ_(n=1) ^∞ ((((√5)+1)/2))^(−n ) cos(nx) ...be continued....
$$\mathrm{to}\:\mathrm{simplify}\:\:\mathrm{calculus}\:\mathrm{we}\:\mathrm{can}\:\mathrm{use}\:\mathrm{this}\:\mathrm{decomposition} \\ $$$$\mathrm{f}^{'} \left(\mathrm{x}\right)=\frac{\mathrm{2cosx}}{\mathrm{3}−\mathrm{2cos}\left(\mathrm{2x}\right)}=\frac{\mathrm{2cosx}}{\mathrm{3}−\mathrm{2}\left(\mathrm{2cos}^{\mathrm{2}} \mathrm{x}−\mathrm{1}\right)}=\frac{\mathrm{2cosx}}{\mathrm{3}−\mathrm{4cos}^{\mathrm{2}} \mathrm{x}+\mathrm{2}} \\ $$$$=−\frac{\mathrm{2cosx}}{\mathrm{4cos}^{\mathrm{2}} \mathrm{x}−\mathrm{5}}=−\frac{\mathrm{2cosx}}{\left(\mathrm{2cosx}−\sqrt{\mathrm{5}}\right)\left(\mathrm{2cosx}\:+\sqrt{\mathrm{5}}\right)} \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{5}}}\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2cosx}−\sqrt{\mathrm{5}}}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2cosx}+\sqrt{\mathrm{5}}}\right)=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{5}}}\left(\mathrm{u}\left(\mathrm{x}\right)−\mathrm{v}\left(\mathrm{x}\right)\right) \\ $$$$\mathrm{u}\left(\mathrm{x}\right)=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2cosx}−\sqrt{\mathrm{5}}}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{e}^{\mathrm{ix}} \:+\mathrm{e}^{−\mathrm{ix}} −\sqrt{\mathrm{5}}}=_{\mathrm{e}^{\mathrm{ix}} \:=\mathrm{z}} \:\:\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{z}+\mathrm{z}^{−\mathrm{1}} \:−\sqrt{\mathrm{5}}} \\ $$$$=\frac{\mathrm{z}}{\mathrm{z}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{1}−\sqrt{\mathrm{5}}\mathrm{z}}=\frac{\mathrm{z}}{\mathrm{z}^{\mathrm{2}} −\sqrt{\mathrm{5}}\mathrm{z}\:+\mathrm{1}} \\ $$$$\Delta=\mathrm{5}−\mathrm{4}=\mathrm{1}\:\Rightarrow\mathrm{z}_{\mathrm{1}} =\frac{\sqrt{\mathrm{5}}+\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\:\mathrm{and}\:\mathrm{z}_{\mathrm{2}} =\frac{\sqrt{\mathrm{5}}−\mathrm{1}}{\mathrm{2}} \\ $$$$\mathrm{u}\left(\mathrm{x}\right)=\frac{\mathrm{z}}{\left(\mathrm{z}−\mathrm{z}_{\mathrm{1}} \right)\left(\mathrm{z}−\mathrm{z}_{\mathrm{2}} \right)}=\mathrm{z}\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{z}−\mathrm{z}_{\mathrm{1}} }−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{z}−\mathrm{z}_{\mathrm{2}} }\right)=\frac{\mathrm{z}}{\mathrm{z}−\mathrm{z}_{\mathrm{1}} }−\frac{\mathrm{z}}{\mathrm{z}−\mathrm{z}_{\mathrm{2}} } \\ $$$$\mid\frac{\mathrm{z}}{\mathrm{z}_{\mathrm{1}} }\mid−\mathrm{1}=\frac{\mathrm{2}}{\:\sqrt{\mathrm{5}}+\mathrm{1}}−\mathrm{1}\:=\frac{\mathrm{2}−\sqrt{\mathrm{5}}−\mathrm{1}}{\left(…\right)}<\mathrm{0}\:\Rightarrow\mid\frac{\mathrm{z}}{\mathrm{z}_{\mathrm{1}} }\mid<\mathrm{1} \\ $$$$\mid\frac{\mathrm{z}}{\mathrm{z}_{\mathrm{2}} }\mid−\mathrm{1}=\frac{\mathrm{2}}{\:\sqrt{\mathrm{5}}−\mathrm{1}}−\mathrm{1}\:=\frac{\mathrm{2}−\sqrt{\mathrm{5}}+\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{5}}−\mathrm{1}}=\frac{\mathrm{3}−\sqrt{\mathrm{5}}}{\left(..\right)}>\mathrm{0}\:\Rightarrow\mid\frac{\mathrm{z}}{\mathrm{z}_{\mathrm{2}} }\mid>\mathrm{1}\:\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{u}\left(\mathrm{x}\right)=−\frac{\mathrm{z}}{\mathrm{z}_{\mathrm{1}} \left(\mathrm{1}−\frac{\mathrm{z}}{\mathrm{z}_{\mathrm{1}} }\right)}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}−\frac{\mathrm{z}_{\mathrm{2}} }{\mathrm{z}}} \\ $$$$=−\frac{\mathrm{z}}{\mathrm{z}_{\mathrm{1}} }\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{0}} ^{\infty} \:\frac{\mathrm{z}^{\mathrm{n}} }{\mathrm{z}_{\mathrm{1}} ^{\mathrm{n}} }−\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{0}} ^{\infty} \:\frac{\mathrm{z}_{\mathrm{2}} ^{\mathrm{n}} }{\mathrm{z}^{\mathrm{n}} } \\ $$$$\mathrm{z}_{\mathrm{1}} \mathrm{z}_{\mathrm{2}} =\mathrm{1}\:\Rightarrow\mathrm{z}_{\mathrm{2}} ^{\mathrm{n}} \:=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{z}_{\mathrm{1}} ^{\mathrm{n}} }\:\Rightarrow\mathrm{u}\left(\mathrm{x}\right)=−\frac{\mathrm{z}}{\mathrm{z}_{\mathrm{1}} }\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{0}} ^{\infty} \:\frac{\mathrm{z}^{\mathrm{n}} }{\mathrm{z}_{\mathrm{1}} ^{\mathrm{n}} }−\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{0}} ^{\infty} \:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{z}_{\mathrm{1}} ^{\mathrm{n}} \:\mathrm{z}^{\mathrm{n}} } \\ $$$$=−\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{0}} ^{\infty} \:\left(\frac{\sqrt{\mathrm{5}}+\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\right)^{−\mathrm{n}−\mathrm{1}} \:\mathrm{e}^{\mathrm{i}\left(\mathrm{n}+\mathrm{1}\right)\mathrm{x}} \:−\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{0}} ^{\infty} \:\left(\frac{\sqrt{\mathrm{5}}+\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\right)^{−\mathrm{n}} \:\mathrm{e}^{−\mathrm{inx}} \\ $$$$=−\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{0}} ^{\infty} \:\left(\frac{\sqrt{\mathrm{5}}+\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\right)^{−\mathrm{n}−\mathrm{1}} \left(\mathrm{cos}\left(\mathrm{n}+\mathrm{1}\right)\mathrm{x}\:+\mathrm{isin}\left(\mathrm{n}+\mathrm{1}\right)\mathrm{x}\right) \\ $$$$−\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{0}} ^{\infty} \:\left(\frac{\sqrt{\mathrm{5}}+\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\right)^{−\mathrm{n}} \:\left(\mathrm{cos}\left(\mathrm{nx}\right)−\mathrm{isin}\left(\mathrm{nx}\right)\right) \\ $$$$\mathrm{u}\left(\mathrm{x}\right)\mathrm{real}\:\Rightarrow\mathrm{u}\left(\mathrm{x}\right)=−\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{0}} ^{\infty} \left(\frac{\sqrt{\mathrm{5}}+\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\right)^{−\left(\mathrm{n}+\mathrm{1}\right)} \:\mathrm{cos}\left(\mathrm{n}+\mathrm{1}\right)\mathrm{x} \\ $$$$−\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{0}} ^{\infty} \:\left(\frac{\sqrt{\mathrm{5}}+\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\right)^{−\mathrm{n}} \:\mathrm{cos}\left(\mathrm{nx}\right) \\ $$$$=−\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \:\left(\frac{\sqrt{\mathrm{5}}+\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\right)^{−\mathrm{n}} \:\mathrm{cos}\left(\mathrm{nx}\right)−\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{0}} ^{\infty} \:\left(\frac{\sqrt{\mathrm{5}}+\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\right)^{−\mathrm{n}} \mathrm{cos}\left(\mathrm{nx}\right) \\ $$$$=−\mathrm{1}−\mathrm{2}\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \:\left(\frac{\sqrt{\mathrm{5}}+\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\right)^{−\mathrm{n}\:} \mathrm{cos}\left(\mathrm{nx}\right) \\ $$$$…\mathrm{be}\:\mathrm{continued}…. \\ $$

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