Question Number 192083 by sciencestudentW last updated on 07/May/23
$${f}\left({x}\right)={ax}^{\mathrm{2}} +{bx}+{c} \\ $$$${f}\left({x}−\mathrm{1}\right)+{f}\left({x}\right)+{f}\left({x}+\mathrm{1}\right)={x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1} \\ $$$${f}\left(\mathrm{2}\right)=? \\ $$
Answered by AST last updated on 07/May/23
$${Line}\:\mathrm{2} \\ $$$$\Rightarrow{a}\left(\left({x}−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} +{x}^{\mathrm{2}} +\left({x}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} \right)+{b}\left({x}−\mathrm{1}+{x}+{x}+\mathrm{1}\right)+\mathrm{3}{c} \\ $$$$={x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}\Rightarrow{a}\left(\mathrm{3}{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{2}\right)+{b}\left(\mathrm{3}{x}\right)+\mathrm{3}{c}={x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{3}{ax}^{\mathrm{2}} +\mathrm{3}{bx}+\mathrm{2}{a}+\mathrm{3}{c}={x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{3}{a}=\mathrm{1}\Rightarrow{a}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}};{b}=\mathrm{0};\mathrm{2}{a}+\mathrm{3}{c}=\mathrm{1}\Rightarrow{c}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{9}} \\ $$$$\Rightarrow{f}\left({x}\right)=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}{x}^{\mathrm{2}} +\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{9}}=\frac{\mathrm{3}{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}}{\mathrm{9}} \\ $$$$\Rightarrow{f}\left(\mathrm{2}\right)=\frac{\mathrm{13}}{\mathrm{9}} \\ $$