Question Number 177530 by mnjuly1970 last updated on 06/Oct/22
$$ \\ $$$${f}\:\left({x}\:\right)\:+\:{f}\:\left(\frac{\:\mathrm{1}}{\:\sqrt[{\mathrm{3}}]{\mathrm{1}\:−{x}^{\:\mathrm{3}} }}\:\right)=\:{x}^{\:\mathrm{3}} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:{is}\:{given}.\:{find}\:{the}\:{value}\:{of}: \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\: \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:{f}\:\left(−\mathrm{1}\right)=? \\ $$$$ \\ $$
Answered by floor(10²Eta[1]) last updated on 06/Oct/22
$$\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)+\mathrm{f}\left(\frac{\mathrm{1}}{\:\sqrt[{\mathrm{3}}]{\mathrm{1}−\mathrm{x}^{\mathrm{3}} }}\right)=\mathrm{x}^{\mathrm{3}} \:\left(\mathrm{1}\right) \\ $$$$\mathrm{x}\rightarrow\frac{\mathrm{1}}{\:\sqrt[{\mathrm{3}}]{\mathrm{1}−\mathrm{x}^{\mathrm{3}} }} \\ $$$$\mathrm{f}\left(\frac{\mathrm{1}}{\:\sqrt[{\mathrm{3}}]{\mathrm{1}−\mathrm{x}^{\mathrm{3}} }}\right)+\mathrm{f}\left(\frac{\sqrt[{\mathrm{3}}]{\mathrm{x}^{\mathrm{3}} −\mathrm{1}}}{\:\mathrm{x}}\right)=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}−\mathrm{x}^{\mathrm{3}} }\:\left(\mathrm{2}\right) \\ $$$$\mathrm{x}\rightarrow\frac{\mathrm{1}}{\:\sqrt[{\mathrm{3}}]{\mathrm{1}−\mathrm{x}^{\mathrm{3}} }}\: \\ $$$$\mathrm{f}\left(\frac{\sqrt[{\mathrm{3}}]{\mathrm{x}^{\mathrm{3}} −\mathrm{1}}}{\mathrm{x}}\right)+\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{3}} −\mathrm{1}}{\mathrm{x}^{\mathrm{3}} }\:\left(\mathrm{3}\right) \\ $$$$\left(\mathrm{3}\right)−\left(\mathrm{2}\right): \\ $$$$\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)−\mathrm{f}\left(\frac{\mathrm{1}}{\:\sqrt[{\mathrm{3}}]{\mathrm{1}−\mathrm{x}^{\mathrm{3}} }}\right)=\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{3}} −\mathrm{1}}{\mathrm{x}^{\mathrm{3}} }−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}−\mathrm{x}^{\mathrm{3}} }\:\left(\mathrm{4}\right) \\ $$$$\left(\mathrm{1}\right)+\left(\mathrm{4}\right): \\ $$$$\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\left(\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{3}} −\mathrm{1}}{\mathrm{x}^{\mathrm{3}} }−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}−\mathrm{x}^{\mathrm{3}} }+\mathrm{x}^{\mathrm{3}} \right) \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{f}\left(−\mathrm{1}\right)=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}} \\ $$$$ \\ $$
Commented by mnjuly1970 last updated on 07/Oct/22
$${thanks}\:{sir} \\ $$
Answered by mr W last updated on 06/Oct/22
$${f}\left(−\mathrm{1}\right)+{f}\left(\frac{\mathrm{1}}{\:\sqrt[{\mathrm{3}}]{\mathrm{2}}}\right)=−\mathrm{1}\:\:\:…\left({i}\right) \\ $$$${f}\left(\frac{\mathrm{1}}{\:\sqrt[{\mathrm{3}}]{\mathrm{2}}}\right)+{f}\left(\sqrt[{\mathrm{3}}]{\mathrm{2}}\right)=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\:\:\:…\left({ii}\right) \\ $$$${f}\left(\sqrt[{\mathrm{3}}]{\mathrm{2}}\right)+{f}\left(−\mathrm{1}\right)=\mathrm{2}\:\:\:…\left({iii}\right) \\ $$$$\left({i}\right)+\left({iii}\right)−\left({ii}\right): \\ $$$$\mathrm{2}{f}\left(−\mathrm{1}\right)=\mathrm{2}−\mathrm{1}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}} \\ $$$$\Rightarrow{f}\left(−\mathrm{1}\right)=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}} \\ $$
Commented by mnjuly1970 last updated on 07/Oct/22
$${thanks}\:{alot}\:{sir}\:{W} \\ $$
Answered by a.lgnaoui last updated on 06/Oct/22
$${pour}\:{x}=^{\mathrm{3}} \sqrt{\mathrm{2}}\:\:\: \\ $$$${f}\left(^{\mathrm{3}} \sqrt{\mathrm{2}}\:\right)+{f}\frac{\mathrm{1}}{\:^{\mathrm{3}} \sqrt{\mathrm{1}−\mathrm{2}}}=\mathrm{2}\:\:\left({d}\:{apres}\:{l}\:{expressiin}\right) \\ $$$$\:\:\:\:{donc}\:\:{f}\left(^{\mathrm{3}} \sqrt{\mathrm{2}}\:\right)+{f}\left(−\mathrm{1}\right)=\mathrm{2}\:\:\:\:\left(\mathrm{1}\right) \\ $$$${pour}\:\:\:{x}=−\mathrm{1} \\ $$$${f}\left(−\mathrm{1}\right)+{f}\left(\frac{\mathrm{1}}{\:^{\mathrm{3}} \sqrt{\mathrm{1}−\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{3}} }}\right)={f}\left(−\mathrm{1}\right)+{f}\left(\frac{\mathrm{1}}{\:^{\mathrm{3}} \sqrt{\mathrm{2}}}\right)=−\mathrm{1}\:\:\left(\mathrm{2}\right) \\ $$$$\left(\mathrm{1}\right)\:\:{et}\:\left(\mathrm{2}\right)\Rightarrow\mathrm{2}−{f}\left(^{\mathrm{3}} \sqrt{\mathrm{2}}\:\right)=−\mathrm{1}−{f}\left(\frac{\mathrm{1}}{\:^{\mathrm{3}} \sqrt{\mathrm{2}}}\right) \\ $$$${soit}\:\:{f}\left(^{\mathrm{3}} \sqrt{\mathrm{2}}\:\right)−{f}\left(\frac{\mathrm{1}}{\:^{\mathrm{3}} \sqrt{\mathrm{2}}}\right)=\mathrm{3}\:\:\:\:\:\:\:\:\left(\mathrm{3}\right) \\ $$$${Calcul}\:{de}\:\:\:\:\:\:\:{f}\left(\frac{\mathrm{1}}{\:^{\mathrm{3}} \sqrt{\mathrm{2}}}\right)? \\ $$$${f}\left(\frac{\mathrm{1}}{\:^{\mathrm{3}} \sqrt{\mathrm{2}}}\right)+{f}\left(\frac{\mathrm{1}}{\:^{\mathrm{3}} \sqrt{\mathrm{1}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}}}\right)=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}} \\ $$$${f}\left(\frac{\mathrm{1}}{\:^{\mathrm{3}} \sqrt{\mathrm{2}}}\right)+{f}\left(^{\mathrm{3}} \sqrt{\mathrm{2}}\right)=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\:\:\:\:\:\:\:\left(\mathrm{4}\right)\: \\ $$$$\left(\mathrm{3}\right)\:\:\:{et}\:\left(\mathrm{4}\right)\:\:\Rightarrow{f}\left(\frac{\mathrm{1}}{\:^{\mathrm{3}} \sqrt{\mathrm{2}}}\right)={f}\left(^{\mathrm{3}} \sqrt{\mathrm{2}}\:\right)−\mathrm{3}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}−{f}\left(−\mathrm{1}\right) \\ $$$$\left(\mathrm{3}\right)\:\:{et}\:\:\left(\mathrm{4}\right)\Rightarrow\begin{cases}{{f}\left(\:^{\mathrm{3}} \sqrt{\mathrm{2}}\:\right)−{f}\left(\frac{\mathrm{1}}{\:^{\mathrm{3}} \sqrt{\mathrm{2}}}\right)=\mathrm{3}}\\{{f}\left(^{\mathrm{3}} \sqrt{\mathrm{2}}\:\right)+{f}\left(\frac{\mathrm{1}}{\:^{\mathrm{3}} \sqrt{\mathrm{2}}}\right)=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}}\end{cases} \\ $$$$\mathrm{2}{f}\left(^{\mathrm{3}} \sqrt{\mathrm{2}}\:\right)=\frac{\mathrm{7}}{\mathrm{2}}\:\:\:\:\:{f}\left(\sqrt{\mathrm{2}}\:\right)=\frac{\mathrm{7}}{\mathrm{4}} \\ $$$${finalement}\:\:{en}\left[{remplacant}\:\:{dans}\left(\mathrm{1}\right)\right. \\ $$$${f}\left(\sqrt{\mathrm{2}}\:\right)+{f}\left(−\mathrm{1}\right)=\mathrm{2} \\ $$$$\:\:\:\:{f}\left(−\mathrm{1}\right)=\mathrm{2}−{f}\left(\:^{\mathrm{3}} \sqrt{\mathrm{2}}\:\right)=\mathrm{2}−\frac{\mathrm{7}}{\mathrm{4}} \\ $$$$\:\:\:{f}\left(−\mathrm{1}\right)=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}} \\ $$