Question Number 189285 by TUN last updated on 14/Mar/23
$${f}\left({x}\right)\:{is}\:{continous}\:{function}\:{on}\:{R} \\ $$$${and}\:\underset{{x}\rightarrow\mathrm{1}} {\mathrm{lim}}\frac{{f}\left(\frac{{x}+\mathrm{1}}{{x}}\right)−\mathrm{6}}{\left(\frac{{x}−\mathrm{1}}{{x}}\right)^{\mathrm{2}} }=\mathrm{2} \\ $$$${Evalute}\::\:\underset{{x}\rightarrow\mathrm{1}} {\mathrm{lim}}\frac{\sqrt{{f}\left({x}\right)+{x}}−{x}}{\left({x}−\mathrm{1}\right)}=¿ \\ $$
Answered by cortano12 last updated on 14/Mar/23
$$\:\mathrm{let}\:\frac{\mathrm{x}+\mathrm{1}}{\mathrm{x}}\:=\mathrm{u}\:;\:\mathrm{x}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{u}−\mathrm{1}}\:;\:\left(\frac{\mathrm{x}−\mathrm{1}}{\mathrm{x}}\right)^{\mathrm{2}} =\left(\mathrm{1}−\left(\mathrm{u}−\mathrm{1}\right)\right)^{\mathrm{2}} \\ $$$$\mathrm{L}=\:\underset{\mathrm{u}\rightarrow\mathrm{2}} {\mathrm{lim}}\:\frac{\mathrm{f}\left(\mathrm{u}\right)−\mathrm{6}}{\left(\mathrm{2}−\mathrm{u}\right)^{\mathrm{2}} }\:=\:\mathrm{2} \\ $$$$\:\begin{cases}{\mathrm{f}\left(\mathrm{2}\right)=\mathrm{6}}\\{\mathrm{L}=\:\underset{\mathrm{u}\rightarrow\mathrm{2}} {\mathrm{lim}}}\end{cases}\left(\frac{\mathrm{f}\:'\left(\mathrm{u}\right)}{−\mathrm{2}\left(\mathrm{2}−\mathrm{u}\right)}\right)\:=\:\mathrm{2}\Rightarrow\mathrm{f}\:'\left(\mathrm{2}\right)=\mathrm{0} \\ $$$$\:\:\:\mathrm{L}=\underset{\mathrm{u}\rightarrow\mathrm{2}} {\mathrm{lim}}\left(\frac{\mathrm{f}\:''\left(\mathrm{u}\right)}{\mathrm{2}}\right)=\mathrm{2}\Rightarrow\mathrm{f}\:''\left(\mathrm{2}\right)=\mathrm{4} \\ $$
Answered by cortano12 last updated on 14/Mar/23
$$\mathrm{K}=\underset{{x}\rightarrow\mathrm{1}} {\mathrm{lim}}\:\frac{\sqrt{\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)+\mathrm{x}}−\mathrm{x}}{\left(\mathrm{x}−\mathrm{1}\right)}\:= \\ $$$$\:\left[\:\sqrt{\mathrm{f}\left(\mathrm{1}\right)+\mathrm{1}}=\mathrm{1}\Rightarrow\mathrm{f}\left(\mathrm{1}\right)=\mathrm{0}\:\right]\: \\ $$$$\mathrm{K}=\:\underset{{x}\rightarrow\mathrm{1}} {\mathrm{lim}}\:\frac{\frac{\mathrm{f}\:'\left(\mathrm{x}\right)+\mathrm{1}}{\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)+\mathrm{x}}}\:−\mathrm{1}}{\mathrm{1}} \\ $$$$\mathrm{K}=\:\frac{\mathrm{f}\:'\left(\mathrm{1}\right)+\mathrm{1}}{\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{f}\left(\mathrm{1}\right)+\mathrm{1}}}−\mathrm{1}=\frac{\mathrm{f}\:'\left(\mathrm{1}\right)+\mathrm{1}}{\mathrm{2}}−\mathrm{1} \\ $$
Commented by TUN last updated on 14/Mar/23
$${f}\left({x}\right)\:{is}\:{quadratic}\:{function} \\ $$
Commented by mr W last updated on 14/Mar/23
$${no}!\:{there}\:{are}\:{infinite}\:{possibilities}. \\ $$$${f}\left({x}\right)=\left({x}−\mathrm{2}\right)^{\mathrm{2}} {g}\left({x}\right)+\mathrm{6}\: \\ $$$${g}\left({x}\right)\:{can}\:{be}\:{any}\:{function}\:{with}\:{g}\left(\mathrm{2}\right)=\mathrm{2}. \\ $$