Question Number 145516 by mathmax by abdo last updated on 05/Jul/21
$$\mathrm{f}\left(\mathrm{x}+\mathrm{y}\right)=\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)+\mathrm{f}\left(\mathrm{y}\right)+\mathrm{xy}\:\mathrm{for}\:\mathrm{all}\:\mathrm{x}\:\mathrm{and}\:\mathrm{y}\:\mathrm{fromR} \\ $$$$\mathrm{and}\:\mathrm{f}\left(\mathrm{4}\right)=\mathrm{10}\:\:\mathrm{calculate}\:\mathrm{f}\left(\mathrm{1319}\right) \\ $$
Answered by Olaf_Thorendsen last updated on 05/Jul/21
$${f}\left({x}+{y}\right)\:=\:{f}\left({x}\right)+{f}\left({y}\right)+{xy} \\ $$$$\mathrm{if}\:{x}\:=\:{y}\:=\:\mathrm{2} \\ $$$${f}\left(\mathrm{4}\right)\:=\:\mathrm{2}{f}\left(\mathrm{2}\right)+\mathrm{4}\:\Rightarrow\:{f}\left(\mathrm{2}\right)\:=\:\frac{\mathrm{10}−\mathrm{4}}{\mathrm{2}}\:=\:\mathrm{3} \\ $$$$ \\ $$$$\mathrm{if}\:{x}\:=\:{y}\:=\:\mathrm{1} \\ $$$${f}\left(\mathrm{2}\right)\:=\:\mathrm{2}{f}\left(\mathrm{1}\right)+\mathrm{1}\:\Rightarrow\:{f}\left(\mathrm{1}\right)\:=\:\frac{\mathrm{3}−\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\:=\:\mathrm{1} \\ $$$$ \\ $$$$\mathrm{if}\:{x}\:=\:{y}\:=\:\mathrm{2}^{{n}−\mathrm{1}} \\ $$$${f}\left(\mathrm{2}^{{n}} \right)\:=\:\mathrm{2}{f}\left(\mathrm{2}^{{n}−\mathrm{1}} \right)+\mathrm{2}^{\mathrm{2}{n}−\mathrm{2}} \\ $$$${f}\left(\mathrm{2}^{{n}} \right)\:=\:\mathrm{2}\left(\mathrm{2}{f}\left(\mathrm{2}^{{n}−\mathrm{2}} \right)+\mathrm{2}^{\mathrm{2}{n}−\mathrm{4}} \right)+\mathrm{2}^{\mathrm{2}{n}−\mathrm{2}} \\ $$$${f}\left(\mathrm{2}^{{n}} \right)\:=\:\mathrm{2}^{\mathrm{2}} {f}\left(\mathrm{2}^{{n}−\mathrm{2}} \right)+\mathrm{2}^{\mathrm{2}{n}−\mathrm{2}} +\mathrm{2}^{\mathrm{2}{n}−\mathrm{3}} \\ $$$$… \\ $$$${f}\left(\mathrm{2}^{{n}} \right)\:=\:\mathrm{2}^{{n}−\mathrm{2}} {f}\left(\mathrm{2}^{\mathrm{2}} \right)+\underset{{k}=\mathrm{2}} {\overset{{n}−\mathrm{1}} {\sum}}\mathrm{2}^{\mathrm{2}{n}−{k}} \\ $$$${f}\left(\mathrm{2}^{{n}} \right)\:=\:\mathrm{10}.\mathrm{2}^{{n}−\mathrm{2}} +\mathrm{2}^{\mathrm{2}{n}} \underset{{k}=\mathrm{2}} {\overset{{n}−\mathrm{1}} {\sum}}\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\right)^{{k}} \\ $$$${f}\left(\mathrm{2}^{{n}} \right)\:=\:\mathrm{10}.\mathrm{2}^{{n}−\mathrm{2}} +\mathrm{2}^{\mathrm{2}{n}} ×\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}.\frac{\mathrm{1}−\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\right)^{{n}−\mathrm{2}} }{\mathrm{1}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}} \\ $$$${f}\left(\mathrm{2}^{{n}} \right)\:=\:\mathrm{10}.\mathrm{2}^{{n}−\mathrm{2}} +\mathrm{2}^{\mathrm{2}{n}} \frac{\mathrm{1}−\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\right)^{{n}−\mathrm{2}} }{\mathrm{2}} \\ $$$${f}\left(\mathrm{2}^{{n}} \right)\:=\:\mathrm{10}.\mathrm{2}^{{n}−\mathrm{2}} +\mathrm{2}^{\mathrm{2}{n}−\mathrm{1}} −\mathrm{2}^{{n}+\mathrm{1}} \\ $$$$ \\ $$$$\mathrm{1319}\:=\:\mathrm{1024}+\mathrm{256}+\mathrm{32}+\mathrm{4}+\mathrm{2}+\mathrm{1} \\ $$$$\mathrm{1319}\:=\:\mathrm{2}^{\mathrm{10}} +\mathrm{2}^{\mathrm{8}} +\mathrm{2}^{\mathrm{5}} +\mathrm{4}+\mathrm{2}+\mathrm{1} \\ $$$${f}\left(\mathrm{1024}\right)\:=\:\mathrm{10}.\mathrm{2}^{\mathrm{8}} +\mathrm{2}^{\mathrm{19}} −\mathrm{2}^{\mathrm{11}} \:=\:\mathrm{524800} \\ $$$${f}\left(\mathrm{256}\right)\:=\:\mathrm{10}.\mathrm{2}^{\mathrm{6}} +\mathrm{2}^{\mathrm{15}} −\mathrm{2}^{\mathrm{9}} \:=\:\mathrm{32896} \\ $$$${f}\left(\mathrm{32}\right)\:=\:\mathrm{10}.\mathrm{2}^{\mathrm{3}} +\mathrm{2}^{\mathrm{9}} −\mathrm{2}^{\mathrm{6}} \:=\:\mathrm{528} \\ $$$$ \\ $$$${f}\left(\mathrm{1024}+\mathrm{256}\right)\:=\:{f}\left(\mathrm{1280}\right)\:=\:{f}\left(\mathrm{1024}\right)+{f}\left(\mathrm{256}\right)+\mathrm{1024}×\mathrm{256} \\ $$$${f}\left(\mathrm{1280}\right)\:=\:\mathrm{819840} \\ $$$${f}\left(\mathrm{1280}+\mathrm{32}\right)\:=\:{f}\left(\mathrm{1312}\right)\:=\:{f}\left(\mathrm{1280}\right)+{f}\left(\mathrm{32}\right)+\mathrm{1280}×\mathrm{32} \\ $$$${f}\left(\mathrm{1312}\right)\:=\:\mathrm{861328} \\ $$$${f}\left(\mathrm{1312}+\mathrm{4}\right)\:=\:{f}\left(\mathrm{1316}\right)\:=\:{f}\left(\mathrm{1312}\right)+{f}\left(\mathrm{4}\right)+\mathrm{1312}×\mathrm{4} \\ $$$${f}\left(\mathrm{1316}\right)\:=\:\mathrm{866586} \\ $$$${f}\left(\mathrm{1316}+\mathrm{2}\right)\:=\:{f}\left(\mathrm{1318}\right)\:=\:{f}\left(\mathrm{1316}\right)+{f}\left(\mathrm{2}\right)+\mathrm{1316}×\mathrm{2} \\ $$$${f}\left(\mathrm{1318}\right)\:=\:\mathrm{869221} \\ $$$${f}\left(\mathrm{1318}+\mathrm{1}\right)\:=\:{f}\left(\mathrm{1319}\right)\:=\:{f}\left(\mathrm{1318}\right)+{f}\left(\mathrm{1}\right)+\mathrm{1318}×\mathrm{1} \\ $$$${f}\left(\mathrm{1319}\right)\:=\:\mathrm{870540} \\ $$
Commented by mathmax by abdo last updated on 05/Jul/21
$$\mathrm{thanks}\:\mathrm{sir}\:\mathrm{olaf} \\ $$
Answered by mathmax by abdo last updated on 05/Jul/21
$$\mathrm{we}\:\mathrm{have}\:\mathrm{f}\left(\mathrm{2}+\mathrm{2}\right)=\mathrm{f}\left(\mathrm{2}\right)+\mathrm{f}\left(\mathrm{2}\right)+\mathrm{4}\Rightarrow\mathrm{f}\left(\mathrm{4}\right)=\mathrm{2f}\left(\mathrm{2}\right)+\mathrm{4}\:\Rightarrow\mathrm{2f}\left(\mathrm{2}\right)=\mathrm{10}−\mathrm{4}=\mathrm{6} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{f}\left(\mathrm{2}\right)=\mathrm{3} \\ $$$$\mathrm{f}\left(\mathrm{2}+\mathrm{1}\right)=\mathrm{f}\left(\mathrm{2}\right)+\mathrm{f}\left(\mathrm{1}\right)+\mathrm{2}\:=\mathrm{5}+\mathrm{f}\left(\mathrm{1}\right)=\mathrm{f}\left(\mathrm{3}\right) \\ $$$$\mathrm{f}\left(\mathrm{1}+\mathrm{1}\right)=\mathrm{2f}\left(\mathrm{1}\right)+\mathrm{1}\:\Rightarrow\mathrm{2f}\left(\mathrm{1}\right)=\mathrm{f}\left(\mathrm{2}\right)−\mathrm{f}\left(\mathrm{1}\right)=\mathrm{2}\:\Rightarrow\mathrm{f}\left(\mathrm{1}\right)=\mathrm{1}\:\Rightarrow\mathrm{f}\left(\mathrm{3}\right)=\mathrm{6} \\ $$$$\mathrm{we}\:\mathrm{have}\:\mathrm{f}\left(\mathrm{1}\right)=\mathrm{1}\:,\mathrm{f}\left(\mathrm{2}\right)=\mathrm{3}=\frac{\mathrm{2}\left(\mathrm{2}+\mathrm{1}\right)}{\mathrm{2}}\:,\mathrm{f}\left(\mathrm{3}\right)=\mathrm{6}=\frac{\mathrm{3}\left(\mathrm{3}+\mathrm{1}\right)}{\mathrm{2}} \\ $$$$\mathrm{let}\:\mathrm{suppose}\:\mathrm{f}\left(\mathrm{n}\right)=\frac{\mathrm{n}\left(\mathrm{n}+\mathrm{1}\right)}{\mathrm{2}}\:\Rightarrow\mathrm{f}\left(\mathrm{n}+\mathrm{1}\right)=\mathrm{f}\left(\mathrm{n}\right)+\mathrm{f}\left(\mathrm{1}\right)+\mathrm{n} \\ $$$$=\frac{\mathrm{n}\left(\mathrm{n}+\mathrm{1}\right)}{\mathrm{2}}\:+\mathrm{1}+\mathrm{n}\:=\left(\mathrm{n}+\mathrm{1}\right)\left(\frac{\mathrm{n}}{\mathrm{2}}+\mathrm{1}\right)\:=\frac{\left(\mathrm{n}+\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{n}+\mathrm{2}\right)}{\mathrm{2}}\:\Rightarrow \\ $$$$\forall\mathrm{n}\:\in\mathrm{N}^{\bigstar} \:\:\:\:\mathrm{f}\left(\mathrm{n}\right)=\frac{\mathrm{n}\left(\mathrm{n}+\mathrm{1}\right)}{\mathrm{2}}\:\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{f}\left(\mathrm{1319}\right)=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\left(\mathrm{1319}\right)×\left(\mathrm{1320}\right)\:=\mathrm{660}×\mathrm{1319}=\mathrm{66}×\mathrm{13190}=… \\ $$