Question Number 130531 by mathmax by abdo last updated on 26/Jan/21
$$\mathrm{find}\:\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \:\mathrm{arctan}\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{x}+\mathrm{1}\right)\mathrm{dx} \\ $$
Answered by Lordose last updated on 26/Jan/21
$$ \\ $$$$\Omega\:=\:\int_{\mathrm{0}} ^{\:\mathrm{1}} \mathrm{tan}^{−\mathrm{1}} \left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{x}+\mathrm{1}\right)\:\overset{\mathrm{IBP}} {=}\mathrm{xtan}^{−\mathrm{1}} \left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{x}+\mathrm{1}\right)\mid_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \:\:−\:\int_{\mathrm{0}} ^{\:\mathrm{1}} \frac{\mathrm{x}\left(\mathrm{2x}+\mathrm{1}\right)}{\mathrm{1}+\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{x}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }\mathrm{dx} \\ $$$$\Omega\:=\:\mathrm{tan}^{−\mathrm{1}} \left(\mathrm{3}\right)\:−\:\Phi \\ $$$$\Phi\:=\:\int_{\mathrm{0}} ^{\:\mathrm{1}} \left(\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}}\:−\:\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{2x}+\mathrm{2}}\right)\mathrm{dx}\:=\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{log}\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}\right)\mid_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \:−\:\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\int_{\mathrm{0}} ^{\:\mathrm{1}} \frac{\mathrm{2x}+\mathrm{2}}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{2x}+\mathrm{2}}\mathrm{dx}\:−\:\int_{\mathrm{0}} ^{\:\mathrm{1}} \frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{2x}+\mathrm{2}}\mathrm{dx}\right) \\ $$$$\Phi\:=\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{log}\left(\mathrm{2}\right)\:−\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\Psi\:+\:\Pi \\ $$$$\Psi\:=\:\int_{\mathrm{0}} ^{\:\mathrm{1}} \frac{\mathrm{2x}+\mathrm{2}}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{2x}+\mathrm{2}}\mathrm{dx}\:\overset{\mathrm{u}=\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{2x}+\mathrm{2}} {=}\int_{\mathrm{2}} ^{\:\mathrm{5}} \frac{\mathrm{1}}{\mathrm{u}}\mathrm{du}\:=\:\mathrm{log}\left(\frac{\mathrm{5}}{\mathrm{2}}\right)\: \\ $$$$\Pi\:=\:\int_{\mathrm{0}} ^{\:\mathrm{1}} \frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{2x}+\mathrm{2}}\mathrm{dx}\:=\:\int_{\mathrm{0}} ^{\:\mathrm{1}} \frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}+\left(\mathrm{x}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }\mathrm{dx}\:\overset{\mathrm{u}=\mathrm{x}+\mathrm{1}} {=}\int_{\mathrm{1}} ^{\:\mathrm{2}} \frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}+\mathrm{u}^{\mathrm{2}} }\mathrm{du}\:=\:\mathrm{tan}^{−\mathrm{1}} \left(\mathrm{2}\right)\:−\:\mathrm{tan}^{−\mathrm{1}} \left(\mathrm{1}\right)\: \\ $$$$\Phi\:=\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{log}\left(\mathrm{2}\right)−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{log}\left(\frac{\mathrm{5}}{\mathrm{2}}\right)\:+\:\mathrm{tan}^{−\mathrm{1}} \left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}\right) \\ $$$$\Omega\:=\:\mathrm{tan}^{−\mathrm{1}} \left(\mathrm{3}\right)\:−\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{log}\left(\mathrm{2}\right)\:+\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{log}\left(\frac{\mathrm{5}}{\mathrm{2}}\right)\:−\:\mathrm{tan}^{−\mathrm{1}} \left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}\right) \\ $$$$\Omega\:=\:\mathrm{tan}^{−\mathrm{1}} \left(\frac{\mathrm{4}}{\mathrm{3}}\right)\:−\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\left(\mathrm{log}\left(\mathrm{2}\right)−\mathrm{log}\left(\frac{\mathrm{5}}{\mathrm{2}}\right)\right) \\ $$
Commented by mathmax by abdo last updated on 26/Jan/21
$$\mathrm{from}\:\mathrm{where}\:\mathrm{come}\:\mathrm{the}\:\mathrm{decomposition}\:\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}}−\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{2x}+\mathrm{2}}\:\mathrm{sir}? \\ $$
Commented by Lordose last updated on 27/Jan/21
$$\mathrm{Partial}\:\mathrm{fraction}\:\mathrm{decomposition} \\ $$