Question Number 162298 by mathmax by abdo last updated on 28/Dec/21
$$\mathrm{find}\:\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \mathrm{lnx}\:\mathrm{ln}\left(\mathrm{1}−\mathrm{x}^{\mathrm{3}} \right)\mathrm{dx} \\ $$
Answered by Ar Brandon last updated on 28/Dec/21
$${I}=\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \mathrm{ln}{x}\mathrm{ln}\left(\mathrm{1}−{x}^{\mathrm{3}} \right){dx},\:{x}={u}^{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}} \\ $$$$\:\:\:=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{9}}\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} {u}^{−\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{3}}} \mathrm{ln}{u}\centerdot\mathrm{ln}\left(\mathrm{1}−{u}\right){du}=−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{9}}\underset{{n}=\mathrm{1}} {\overset{\infty} {\sum}}\frac{\mathrm{1}}{{n}}\int{u}^{{n}−\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{3}}} \mathrm{ln}{udu} \\ $$$$\:\:\:=−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{9}}\underset{{n}=\mathrm{1}} {\overset{\infty} {\sum}}\frac{\mathrm{1}}{{n}}\centerdot\frac{\partial}{\partial\alpha}\mid_{\alpha={n}−\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{3}}} \int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} {x}^{\alpha} {dx}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{9}}\underset{{n}=\mathrm{1}} {\overset{\infty} {\sum}}\frac{\mathrm{1}}{{n}}\centerdot\frac{\mathrm{1}}{\left({n}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}\right)^{\mathrm{2}} } \\ $$$$\:\:\:=\underset{{n}=\mathrm{1}} {\overset{\infty} {\sum}}\frac{\mathrm{1}}{{n}\left(\mathrm{3}{n}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }=\underset{{n}=\mathrm{1}} {\overset{\infty} {\sum}}\left(\frac{\mathrm{1}}{{n}}−\frac{\mathrm{3}}{\left(\mathrm{3}{n}+\mathrm{1}\right)}−\frac{\mathrm{3}}{\left(\mathrm{3}{n}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }\right) \\ $$$$\:\:\:=\underset{{n}=\mathrm{1}} {\overset{\infty} {\sum}}\left(\frac{\mathrm{1}}{{n}}−\frac{\mathrm{1}}{{n}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}\left({n}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}\right)^{\mathrm{2}} }\right)=\psi\left(\frac{\mathrm{4}}{\mathrm{3}}\right)−\psi\left(\mathrm{1}\right)−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}\psi'\left(\frac{\mathrm{4}}{\mathrm{3}}\right) \\ $$$$\:\:\:=\mathrm{3}+\psi\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}\right)+\gamma−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}\psi'\left(\frac{\mathrm{4}}{\mathrm{3}}\right) \\ $$