Question Number 183041 by Shrinava last updated on 18/Dec/22
$$\mathrm{Find}: \\ $$$$\sqrt{\mathrm{12}−\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{35}}}\:\:−\:\:\sqrt{\mathrm{10}−\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{21}}}\:\:=\:\:? \\ $$
Answered by HeferH last updated on 18/Dec/22
$$\:\sqrt{\mathrm{12}−\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{35}}}\:=\:\sqrt{\left(\sqrt{\mathrm{7}}\right)^{\mathrm{2}} \:+\:\left(\sqrt{\mathrm{5}}\right)^{\mathrm{2}} −\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{7}}\centerdot\sqrt{\mathrm{5}}}\:\: \\ $$$$\:\Rightarrow\:\sqrt{\left(\sqrt{\mathrm{7}}\:−\:\sqrt{\mathrm{5}}\right)^{\mathrm{2}} }\:=\:\sqrt{\mathrm{7}}\:−\:\sqrt{\mathrm{5}} \\ $$$$\:\sqrt{\mathrm{10}−\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{21}}}\:=\:\sqrt{\left(\sqrt{\mathrm{7}}\right)^{\mathrm{2}} \:+\:\left(\sqrt{\mathrm{3}}\right)^{\mathrm{2}} \:−\:\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{7}}\centerdot\sqrt{\mathrm{3}}}\: \\ $$$$\:\Rightarrow\:\sqrt{\left(\sqrt{\mathrm{7}}\:−\:\sqrt{\mathrm{3}}\right)^{\mathrm{2}} }\:=\:\sqrt{\mathrm{7}}\:−\:\sqrt{\mathrm{3}} \\ $$$$\:\sqrt{\mathrm{7}}\:−\:\sqrt{\mathrm{5}}−\left(\sqrt{\mathrm{7}}\:−\sqrt{\mathrm{3}}\right)\:=\:\sqrt{\mathrm{3}}\:−\:\sqrt{\mathrm{5}} \\ $$